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== Variations de la fonction exponentielle ==
=== Positivité de l'exponentielle ===
{{Propriété|contenu=
Pour tout <center><math> \forall x\in\R ,~\quad\exp(x)>0</math> }}.</center>▼ | contenu =
▲Pour tout <math>x\in\R,~\exp(x)>0</math>}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
* Pour tout <math>x\in\R</math>, <math>\mathrm e^x=\left(\mathrm e^{\frac x2x/2}\right)^2>0</math>, donccar pour<math>\mathrm toute^{x/2}\ne0</math>, car <math>x\inmathrm e^{x/2}\R,~mathrm e^{-x/2}=\geq0mathrm e^0=1</math>.
* De plus, s'il existe <math>x_0\in\R</math> tel que <math>e^{x_0}=0</math>,
alors pour tout <math>x\in\R,~e^x=e^{(x-x_0)+x_0}=e^{x_0}\times e^{x-x_0}=0</math>, ce qui est faux car <math>\exp(0)=1</math>
* Donc pour tout <math>x\in\R,~\exp(x)>0</math> ▼}}
| contenu=La fonction exponentielle est strictement croissante sur <math>\R</math>.}}
▲*En Donc pour touteffet, <math> x\ in\R,~exp'=\exp (x)>0</math> .
{{Démonstration déroulante|contenu=
* On sait que si pour tout <math>x\in\R,~f(x)=e^x</math>, alors ''f'' est dérivable et pour tout <math>x\in\R,~f'(x)=e^x</math>.
* Donc pour tout <math>x\in\R,~f'(x)>0</math> car l’exponentielle d’un nombre réel est strictement positive.
* Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur <math>\R</math>.
== Limites aux bornes ==
Les deux propositions ci-dessous seront généralisées et démontrées au chapitre suivant.
=== Limite en + ∞ ===
{{Proposition|contenu=
{{Théorème
| contenu=<center><math>\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^x=+\infty</math>}}.</center>
{{Démonstration déroulante|contenu=
Comme la fonction exponentielle est croissante, il suffit d’étudier la limite de <math>e^n</math> , où ''n'' est un entier naturel. Cette suite est géométrique de raison e >1, donc elle tend vers plus l’infini quand ''n'' tend vers plus l’infini.
}}
=== Limite en -∞ ===
{{Proposition|contenu=
{{Théorème
| contenu=<center><math>\lim_{x\to-\infty}\mathrm e^x=0</math>}}.</center>
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Comme précédemment :
<math>\lim_{x\to+\infty} e^{-n}=\lim_{x\to+\infty}\frac1{e^n}=0</math>}}
== Courbe représentative ==
[[Fichier:Exp e.svg|thumb|center|upright=2]]
On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction exponentielle.
:[[Fichier:Courbe_de_la_fonction_exponentielle.jpg|700px]]
=== Tangente remarquable ===
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