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« Fonction exponentielle/Exercices/Propriétés algébriques de l'exponentielle » : différence entre les versions

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== Exercice 1 ==
Soit <math>x\in\R</math>. Dans chaque cas, simplifier l'expression :▼
 
# <math>(\mathrm e^x)^5\times\mathrm e^{-4x2x}</math> ;▼
▲Soit <math>x\in\R</math>. Dans chaque cas, simplifier l'expression:
# <math>\frac{\mathrm e^{2x+3}}{\mathrm e^{2x-1}}</math> ;▼
 
# <math>(\frac{\mathrm e^x)+\mathrm e^5{-x}}{\timesmathrm e^{-2xx}}</math>.
{{Preuve|titre=Solution|contenu=▼
▲# <math>\frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}</math>
# <math>(\frac{mathrm e^x+)^5\times\mathrm e^{-x2x}=\mathrm e^{5x}\times\mathrm e^{-2x}=\mathrm e^{5x-x2x}=\mathrm e^{3x}</math> ;
# <math>\frac{\mathrm e^{2x+3}}{\mathrm e^{2x-1}}=\mathrm e^{2x+3}\times\mathrm e^{-(2x-1)}=\mathrm e^{2x+3-(2x-1)}=\mathrm e^4</math> ;▼
 
# <math>\frac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^{-x}}=\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^{-x}}+\frac{\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^{-x}}=\mathrm e^{x-(-x)}+1=1+\mathrm e^{2x}</math>.▼
 
{{clr}}
▲{{Preuve|titre=Solution|contenu=
# <math>(e^x)^5\times e^{-2x}=e^{5x}\times e^{-2x}=e^{5x-2x}=e^{3x}</math>▼
▲# <math>\frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}=e^{2x+3}\times e^{-(2x-1)}=e^{2x+3-(2x-1)}=e^4</math>
▲# <math>\frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}=\frac{e^x}{e^{-x}}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}}=e^{x-(-x)}+1=1+e^{2x}</math>
}}
 
== Exercice 2 ==
 
Soit <math>x\in\R</math>. Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :
# <math>(\frac{mathrm e^{2x+5}}{ex)^{3x}6\times\mathrm e^{-1}3x}</math> ;▼
 
# <math>(\frac{\mathrm e^x){2x+5}}{\mathrm e^6{3x}\times\mathrm e^{-3x1}}</math>.
{{Preuve|titre=Solution|contenu=▼
▲# <math>\frac{e^{2x+5}}{e^{3x}\times e^{-1}}</math>
▲# <math>(\mathrm e^x)^56\times\mathrm e^{-2x3x}=\mathrm e^{5x6x}\times\mathrm e^{-2x3x}=\mathrm e^{5x6x-2x3x}=\mathrm e^{3x}</math> ;
 
# <math>\frac{\mathrm e^{2x+5}}{\mathrm e^{3x}\times\mathrm e^{-1}}=\frac{\mathrm e^{2x+5}}{\mathrm e^{3x-1}}=\mathrm e^{2x+5}\times\mathrm e^{-(3x-1)}=\mathrm e^{2x+5-(3x-1)}=\mathrm e^{-x+6}</math>.▼
 
▲{{Preuve|titre=Solution|contenu=
# <math>(e^x)^6\times e^{-3x}=e^{6x}\times e^{-3x}=e^{6x-3x}=e^{3x}</math>
▲# <math>\frac{e^{2x+5}}{e^{3x}\times e^{-1}}=\frac{e^{2x+5}}{e^{3x-1}}=e^{2x+5}\times e^{-(3x-1)}=e^{2x+5-(3x-1)}=e^{-x+6}</math>
}}
 
== Exercice 3 ==
 
Soit <math>x\in\R</math>. Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :
# <math>(\mathrm e^x)^5\times e^{-4x}=e^{5x}\timesmathrm e^{-4x}=e^{5x-4x}=e^x</math> ;▼
# <math>\frac{\mathrm e^{2x-x5}-1}{\mathrm e^{-x2x}+1}=\frac{1-times\mathrm e^{x}}{-1+e^{x}}</math>.▼
 
{{Preuve|titre=Solution|contenu=▼
▲# <math>(e^x)^5\times e^{-4x}</math>
# <math>(\frac{mathrm e^x)^5\times\mathrm e^{2x-54x}}{=\mathrm e^{2x5x}\times\mathrm e^{-14x}=\mathrm e^{5x-4x}=\mathrm e^x</math> ;
# <math>\frac{\mathrm e^{2x-5}}{\mathrm e^{2x}\times\mathrm e^{-1}}=\frac{\mathrm e^{2x-5}}{\mathrm e^{2x-1}}=\mathrm e^{2x-5}\times\mathrm e^{-(2x-1)}=\mathrm e^{2x-5-(2x-1)}=\mathrm e^{-4}</math>}}▼
 
}}
 
▲{{Preuve|titre=Solution|contenu=
▲# <math>(e^x)^5\times e^{-4x}=e^{5x}\times e^{-4x}=e^{5x-4x}=e^x</math>
▲# <math>\frac{e^{2x-5}}{e^{2x}\times e^{-1}}=\frac{e^{2x-5}}{e^{2x-1}}=e^{2x-5}\times e^{-(2x-1)}=e^{2x-5-(2x-1)}=e^{-4}</math>}}
 
== Exercice 4 ==
Démontrer que pour tout réel <math>x</math> :▼
 
# <math>\frac{\mathrm e^x-1}{\mathrm e^x+1}=\frac{1-\mathrm e^{-x}}{1+\mathrm e^{-x}}</math> ;▼
▲Démontrer que pour tout réel x :
# <math>\frac{mathrm e^{-x}-1}{\mathrm e^{-x}+12x}=\frac{\mathrm e^x(e^{-x}-1)}{e^x(\mathrm e^{-x2x}+1)}=\frac{1-e^x}{1+e^x}</math>.▼
 
{{Preuve|titre=Solution|contenu=▼
▲# <math>\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}</math>
#Soit <math>e^{-x}-e^{-2x}=\frac{e^x-1}{e^{2x}}in\R</math>.
# <math>\frac{\mathrm e^x-1}{\mathrm e^x+1}=\frac{\mathrm e^x(1-\mathrm e^{-x})}{\mathrm e^x(1+\mathrm e^{-x})}=\frac{1-\mathrm e^{-x}}{1+\mathrm e^{-x}}</math> ;▼
 
# <math>\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-2x}=\frac{\mathrm e^{2x}(\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-2x})}{\mathrm e^{2x}}=\frac{\mathrm e^{2x-x}-\mathrm e^{2x-2x}}{\mathrm e^{2x}}=\frac{\mathrm e^x-1}{\mathrm e^{2x}}</math>}}.▼
▲{{Preuve|titre=Solution|contenu=
}}
Soit <math>x\in\R</math>▼
 
▲# <math>\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{e^x(1-e^{-x})}{e^x(1+e^{-x})}=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}</math>
▲# <math>e^{-x}-e^{-2x}=\frac{e^{2x}(e^{-x}-e^{-2x})}{e^{2x}}=\frac{e^{2x-x}-e^{2x-2x}}{e^{2x}}=\frac{e^x-1}{e^{2x}}</math>}}
 
== Exercice 5 ==
Démontrer que pour tout réel <math>x</math> :▼
 
# <math>\frac{\mathrm e^{-x}-1}{\mathrm e^{-x}+1}=\frac{1-\mathrm e^x}{1+\mathrm e^x}</math> ;
▲Démontrer que pour tout réel x :
# <math>\frac{e^{-x}+1}{e^{-2x}}=\frac{e^{2x}(mathrm e^{-x}+1)}{e^{2x}\timesmathrm e^{-2x}}=\frac{e^x+e^{2x}}{e^0}=mathrm e^x+\mathrm e^{2x}</math>}}.▼
 
▲{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math>.
▲# <math>\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}</math>
# <math>\frac{\mathrm e^{-x}+-1}{\mathrm e^{-2xx}+1}=\frac{\mathrm e^x(\mathrm e^{-x}-1)}{\mathrm e^x(\mathrm e^{-x}+1)}=\frac{1-\mathrm e^x}{2x1+\mathrm e^x}</math> ;
# <math>\frac{\mathrm e^{-x}+1}{\mathrm e^{-2x}}=\frac{\mathrm e^{2x}(\mathrm e^{-x}+1)}{\mathrm e^{2x}\times\mathrm e^{-2x}}=\frac{\mathrm e^x+\mathrm e^{2x}}{\mathrm e^0}=\mathrm e^x+\mathrm e^{2x}</math>.
 
}}
{{Preuve|titre=Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math>
▲# <math>\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\frac{e^x(e^{-x}-1)}{e^x(e^{-x}+1)}=\frac{1-e^x}{1+e^x}</math>
▲# <math>\frac{e^{-x}+1}{e^{-2x}}=\frac{e^{2x}(e^{-x}+1)}{e^{2x}\times e^{-2x}}=\frac{e^x+e^{2x}}{e^0}=e^x+e^{2x}</math>}}
 
 
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