« Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen » : différence entre les versions

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rectifs (dont confusion répétée entre moyennes harmonique et quadratique) + simplifdémo Hölder
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}}
 
== Application 3 : Démonstrationdémonstration de l'inégalité de Hölder==
 
{{propriété
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On obtient :
 
<math> -\ln \left( \frac {x_1}p + \frac {x_2}q \right) \leqslant -\frac{\ln(x_1)}p - \frac{\ln(x_2)}q \Leftrightarrow x_1^{\frac 1p}x_2^{\frac 1q} \leqslant \frac {x_1}p + \frac {x_2}q </math>.
 
Posons :
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<math> \sum a_ib_i\leqslant \sum_{i=0}^n\left(\frac {a_i^p}p+ \frac {b_i^q}q\right)=\frac{\sum a_i^p}p + \frac{\sum b_i^q}q=\frac 1p + \frac 1q=1=1^{\frac 1p}1^{\frac 1q} =\left( \sum_{i=0}^n a_i^p \right)^{\frac 1p} \left( \sum_{i=0}^n b_i^q \right)^{\frac 1q} </math>.
}}
 
== Application 4 : forme intégrale de l'inégalité de Jensen==
{{Théorème|contenu=
Soient
*<math>(\Omega,\mathcal A,\mu)</math> un [[Théorie de la mesure/Tribus|espace mesuré]] tel que <math>\mu(\Omega)=1</math>,
*<math>g</math> une fonction <math>\mu</math>-intégrable à valeurs dans un intervalle réel <math>I</math> et
*<math>f</math> une fonction convexe de <math>I</math> dans <math>\R</math>.
Alors,
<center><math>f\left(\int_{\Omega}g~\mathrm d\mu\right) \le \int_\Omega f\circ g\, \mathrm d\mu</math>,</center>
l'intégrale de droite pouvant être égale à <math>+\infty</math>.
}}
 
La forme discrète de l’inégalité de Jensen {{supra|Préliminaire}} correspond au cas particulier où <math>g</math><math></math> est une [[w:Fonction étagée|fonction étagée]] arbitraire. Inversement, la forme intégrale peut se déduire de la forme discrète par des arguments de densité (à comparer avec l'[[../Exercices/Sur l’inégalité de Jensen|exercice 1.4]]). Mais on peut aussi en donner une preuve directe :
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
Notons <math>m</math> l'intégrale de <math>g</math>. Alors, <math>m\in I</math>.
 
Si <math>m</math> est une extrémité de <math>I</math>, la fonction <math>g</math> est constante [[w:Ensemble négligeable|presque partout]] et le résultat est immédiat.
 
Supposons donc que <math>m</math> est intérieur à <math>I</math>. Dans ce cas (propriété 10 du chap. 1) il existe une minorante affine de <math>f</math> qui coïncide avec <math>f</math> au point <math>m</math> :
 
<center><math>\forall x\in I\quad f(x)\ge\alpha x+\beta\text{ et }f(m)=\alpha m+\beta.</math></center>
 
Composer cette minoration par <math>g</math>, qui est intégrable et à valeurs dans <math>I</math>, permet non seulement de montrer que l'intégrale de <math>f\circ g</math> est bien définie dans <math>\left]-\infty,+\infty\right]</math> (celle de sa [[w:Partie positive et partie négative d'une fonction|partie négative]] étant finie), mais aussi d'établir l'inégalité désirée par simple intégration :
 
<center><math>\int f\circ g\,\mathrm d\mu\ge\int(\alpha g+\beta)\,\mathrm d\mu=\alpha m+\beta\mu(\Omega)=\alpha m+\beta=f(m)</math>.</center>
}}