« Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen » : différence entre les versions
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== Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder==
L'inégalité de Young ci-dessous — donc aussi de celle de Hölder, qui s'en déduit — n'est pas une application de celle de Jensen mais une application directe de l'inégalité de convexité (début du chap. 1).
Soient <math>p,q\in\R_+^*</math> tels que
<center><math>\frac1p+\frac1q=1</math>.</center>
| contenu ={{Wikipédia|Inégalité de Hölder}}▼
<math> \frac 1p + \frac 1q = 1 </math>▼
{{Théorème|titre=Inégalité de Young|contenu={{Wikipédia|Inégalité de Young}}
on a, pour tous réels positifs <math>a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n</math> :▼
Pour tous réels positifs <math>u</math> et <math>v</math>,
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
:<math>-\ln\left(\frac{u^p}p+\frac{v^q}q\right)\le-\ln u-\ln v</math>
qui équivaut à la formule annoncée.
}}
<math> \sum_{i=0}^n a_ib_i \leqslant \left( \sum_{i=0}^n a_i^p \right)^{\frac 1p} \left( \sum_{i=0}^n b_i^q \right)^{\frac 1q} </math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
La formule étant inchangée si l'on multiplie tous les <math>a_i</math> par une même constante <math>>0</math> et tous les <math>b_i</math> par une autre constante <math>>0</math>, on peut supposer que <math>\sum a_i^p=\sum b_i^q=1</math>.
En appliquant l’inégalité de Young, on obtient :
▲Appliquons l’inégalité de Jensen avec <math>n=2</math>, λ<sub>1</sub>=1/''p'', λ<sub>2</sub>=1/''q'', <math>f=-\ln</math>, <math>x_1>0</math>, <math>x_2>0</math>.
▲<math>a_ib_i\leqslant\frac{a_i^p}p+\frac {b_i^q}q</math>.
En sommant, on trouve bien :
:<math> \sum a_ib_i\leqslant \sum_{i=0}^n\left(\frac {a_i^p}p+ \frac {b_i^q}q\right)=\frac{\sum a_i^p}p + \frac{\sum b_i^q}q=\frac 1p + \frac 1q=1=1^{\frac 1p}1^{\frac 1q} =\left( \sum_{i=0}^n a_i^p \right)^{\frac 1p} \left( \sum_{i=0}^n b_i^q \right)^{\frac 1q} </math>.
}}
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