« Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen » : différence entre les versions

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→‎Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder : +Young, mais ce ne sont pas des « Applications de l'inégalité de Jensen »
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== Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder==
L'inégalité de Young ci-dessous — donc aussi de celle de Hölder, qui s'en déduit — n'est pas une application de celle de Jensen mais une application directe de l'inégalité de convexité (début du chap. 1).
 
Soient <math>p,q\in\R_+^*</math> tels que
{{propriété
<center><math>\frac1p+\frac1q=1</math>.</center>
| titre = Inégalité de Holder
| contenu ={{Wikipédia|Inégalité de Hölder}}
Soit ''p'', ''q'' ∈ ℝ<sub>+</sub><sup>*</sup> et vérifiant :
 
<math> \frac 1p + \frac 1q = 1 </math>
 
{{Théorème|titre=Inégalité de Young|contenu={{Wikipédia|Inégalité de Young}}
on a, pour tous réels positifs <math>a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n</math> :
Pour tous réels positifs <math>u</math> et <math>v</math>,
<center><math>a_ib_iuv\leqslantle\frac{a_iu^p}p+\frac {b_iv^q}q</math>.</center>
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
AppliquonsEn appliquant l’inégalité de Jensenconvexité avecà <math>nf=2-\ln</math>, λ<sub>1</submath>a=1/''u^p'', λ<sub>20</submath>=1/''q'', <math>fb=-\lnv^q>0</math>, et <math>x_1>0\lambda=\frac1p</math>, <math>x_2>0</math>.on obtient :
:<math>-\ln\left(\frac{u^p}p+\frac{v^q}q\right)\le-\ln u-\ln v</math>
qui équivaut à la formule annoncée.
}}
 
{{Corollaire|titre=Inégalité de Hölder| contenu ={{Wikipédia|Inégalité de Hölder}}
on a, pourPour tous réels positifs <math>a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n</math> :
 
<math> \sum_{i=0}^n a_ib_i \leqslant \left( \sum_{i=0}^n a_i^p \right)^{\frac 1p} \left( \sum_{i=0}^n b_i^q \right)^{\frac 1q} </math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
{{démonstration
|contenu =
La formule étant inchangée si l'on multiplie tous les <math>a_i</math> par une même constante <math>>0</math> et tous les <math>b_i</math> par une autre constante <math>>0</math>, on peut supposer que <math>\sum a_i^p=\sum b_i^q=1</math>.
 
En appliquant l’inégalité de Young, on obtient :
Appliquons l’inégalité de Jensen avec <math>n=2</math>, λ<sub>1</sub>=1/''p'', λ<sub>2</sub>=1/''q'', <math>f=-\ln</math>, <math>x_1>0</math>, <math>x_2>0</math>.
:<math> a_ib_i\leqslant\frac 1p {a_i^p}p+ \frac 1q = 1 {b_i^q}q</math>.
 
On obtient :
 
<math> -\ln \left( \frac {x_1}p + \frac {x_2}q \right) \leqslant -\frac{\ln(x_1)}p - \frac{\ln(x_2)}q \Leftrightarrow x_1^{\frac 1p}x_2^{\frac 1q} \leqslant \frac {x_1}p + \frac {x_2}q </math>.
 
Posons :
 
<math> x_1=a_i^p\qquad\qquad x_2=b_i^q</math>.
 
On obtient :
 
<math>a_ib_i\leqslant\frac{a_i^p}p+\frac {b_i^q}q</math>.
 
En sommant, on trouve bien :
 
:<math> \sum a_ib_i\leqslant \sum_{i=0}^n\left(\frac {a_i^p}p+ \frac {b_i^q}q\right)=\frac{\sum a_i^p}p + \frac{\sum b_i^q}q=\frac 1p + \frac 1q=1=1^{\frac 1p}1^{\frac 1q} =\left( \sum_{i=0}^n a_i^p \right)^{\frac 1p} \left( \sum_{i=0}^n b_i^q \right)^{\frac 1q} </math>.
}}