Wikiversité

« Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
→‎Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder : +Young, mais ce ne sont pas des « Applications de l'inégalité de Jensen »
Ligne 104 :
L'inégalité de Young ci-dessous — donc aussi de celle de Hölder, qui s'en déduit — n'est pas une application de celle de Jensen mais une application directe de l'inégalité de convexité (début du chap. 1).
 
{{Théorème|titre=Inégalité de Young|contenu={{Wikipédia|Inégalité de Young}}▼
Soient <math>p,q\in\R_+^*</math> tels que
<center><math>\frac1p+\frac1q=1</math>.</center>
 
 
▲{{Théorème|titre=Inégalité de Young|contenu={{Wikipédia|Inégalité de Young}}
Pour tous réels positifs <math>u</math> et <math>v</math>,
<center><math>uv\le\frac{u^p}p+\frac{v^q}q</math>.</center>
Ligne 120 ⟶ 118 :
 
{{Corollaire|titre=Inégalité de Hölder|contenu ={{Wikipédia|Inégalité de Hölder}}
Pour tous réels positifsSi <math>a_10<p,q<+\dots,a_n,b_1,\dots,b_ninfty</math> :et
<center><math>\frac1p+\frac1q=\frac1r</math></center>alors, pour toutes suites <math>a</math> et <math>b</math> de réels positifs,
 
<center><math> \left(\sum_{i=0n\in\N}\left(a_nb_n\right)^n a_ib_i r\right)^{1/r}\leqslant le\left( \sum_{i=0}^n a_i\in\N}{a_n}^p \right)^{\frac 1p1/p} \left( \sum_{i=0}^n b_i\in\N}{b_n}^q \right)^{\frac 1q1/q} </math>.</center>
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=Sans perte de généralité, on peut supposer que les deux facteurs de droite sont non nuls et finis et même (par [[w:Fonction homogène|homogénéité]]) égaux à <math>1</math>.
{{Démonstration déroulante|contenu=
La formule étant inchangée si l'on multiplie tous les <math>a_i</math> par une même constante <math>>0</math> et tous les <math>b_i</math> par une autre constante <math>>0</math>, on peut supposer que <math>\sum a_i^p=\sum b_i^q=1</math>.
 
En appliquant l’inégalité de Young, on obtient :
:<math>a_ib_i\leqslant\frac{a_i^p}p+\frac {b_i^q}q</math>.
 
En appliquant l'inégalité de Young<center><math>uv\le\frac{u^{p'}}{p'}+\frac{v^{q'}}{q'}\quad\mathrm{\grave a}\quad u=a_n^r,~v=b_n^r,~p'=\tfrac pr,~q'=\tfrac qr\quad(\tfrac1{p'}+\tfrac1{q'}=1),</math></center>on obtient, pour tout <math>n\in\N</math>,<center><math>\left(a_nb_n\right)^r\le\frac{{a_n}^p}{p'}+\frac{{b_n}^q}{q'}</math></center>(avec égalité si et seulement si <math>{a_n}^p={b_n}^q</math>).
En sommant, on trouve bien :
 
:En sommant, on a donc bien<center><math> \sum a_ib_i\leqslant \sum_{i=0}^n\in\N}\left(a_nb_n\frac {a_iright)^r\le\tfrac1{p'}\sum{a_n}^p+ \frac tfrac1{b_i^q'}q\right)sum{b_n}^q=\fractfrac1{\sum a_i^p'}p + \fractfrac1{\sum b_i^q'}q=\frac 1p + \frac 1q=1=1^{\frac 1prp}1^{\frac 1qrq} =\left( \sum_sum{i=0a_n}^n a_i^p \right)^{\frac 1pr/p} \left( \sum_sum{i=0b_n}^n b_i^q \right)^{\frac 1qr/q}</math>,</center>avec égalité si et seulement si <math>a^p=b^q</math>.
}}
 
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctions_convexes/Applications_de_l%27inégalité_de_Jensen »