« Approfondissement sur les suites numériques/Convergence » : différence entre les versions
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* <math>\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty</math> si <math>u_n</math> est aussi petit que l’on veut à partir d’un certain rang. C'est-à-dire :<center><math> \forall A \in \R\quad\exists N\in \N\quad\forall n\ge N\quad u_n < A </math>.</center>
}}
==Limites et relation d'ordre==
{{Théorème|contenu=
Si deux suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> admettent respectivement pour limites (finies ou infinies) <math>\ell</math> et <math>L</math> alors :
<center>si <math>\
}}
C'est un cas particulier d'un [[Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre|théorème analogue sur les fonctions]].
On en déduit la propriété de '''passage à la limite dans les inégalités''' :
{{Corollaire|contenu=
Sous les mêmes hypothèses,
<center>si <math>\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad u_n\ge v_n</math> alors <math>\ell\ge L</math>.</center>}}
On utilise souvent ce théorème et son corollaire dans le cas où l'une des deux suites est constante.
==Unicité de la limite==
Le théorème suivant légitime la notation <math>\lim_{n\to +\infty}u_n=</math> introduite dans les définitions ci-dessus.
{{Théorème
| contenu=
Une suite a au plus une limite (finie ou infinie).}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Si une même suite a pour limites <math>\ell</math> et <math>L</math> alors, d'après le corollaire précédent, on a à la fois <math>\ell\ge L</math> et <math>L\ge\ell</math>, donc <math>\ell=L</math>.
}}
▲<math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N'\in\N\quad\forall n\ge N\quad\left|u_n-\ell'\right|<\varepsilon</math>.
==Théorème des suites convergentes==
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