« Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan » : différence entre les versions
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remplacé une preuve fausse du 6/2/15 (ne prouvait pas la dérivabilité) + rectif notation |
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}}
== La fonction
{{Définition
| contenu =
La fonction tangente étant strictement croissante et continue sur <math>\left]-\frac{\pi}2
<center><math>\tan(a)=b</math>.</center>
On note :
<center><math>a=\
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de
<center>[[Fichier:Arctan.svg|300px]]</center>
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{{Propriété
| contenu =
La fonction
}}
<center>
{| class="wikitable" width="250" style="background-color:#B2FFFF"
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|}
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| <math>\
|
{| border="0"
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|}
</center>
== Dérivée ==
{{Théorème
| contenu=La fonction
▲<center><math>\operatorname{Arctan}'(x)=\frac1{1+x^2}</math></center>
}}
{{Démonstration▼
▲{{Démonstration déroulante|contenu=
Appliquons le [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Dérivée et opérations|théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque]] aux bijections <math>f=\tan:\left]-\frac\pi2,+\frac\pi2\right[\to\R</math> et <math>f^{-1}=\arctan:\R\to\left]-\frac\pi2,+\frac\pi2\right[</math>.
Puisque
:<math>\
la fonction <math>\arctan</math> est dérivable et
:<math>\forall x\in\R\quad\arctan'(x)=\frac1{1+\tan^2(\arctan(x))}=\frac1{1+x^2}</math>.
}}
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