« Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan » : différence entre les versions

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remplacé une preuve fausse du 6/2/15 (ne prouvait pas la dérivabilité) + rectif notation
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}}
 
== La fonction Arcarc tangente ==
 
{{Définition
| contenu =
La fonction tangente étant strictement croissante et continue sur <math>\left]-\frac{\pi}2;,\frac{\pi}2\right[</math>, àet chaquede nombrelimites ''b''infinies deaux bornes, à chaque réel <math>]-\infty ;+\infty[b</math> correspond un unique nombre <math>a</math> de <math>\left]-\frac{\pi}2;,\frac{\pi}2\right[</math> tel que :
 
<center><math>\tan(a)=b</math>.</center>.
 
On note :
 
<center><math>a=\operatorname{Arctan}arctan(b)</math></center>}}
 
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de Arctanarctan sur <math>]-\infty;+\infty[R</math>. Elle se déduit de celle de tangente par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère.
 
<center>[[Fichier:Arctan.svg|300px]]</center>
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{{Propriété
| contenu =
La fonction Arctanarctan est strictement croissante sur <math>]-\infty;+\infty[R</math>.
}}
 
<br />​
<center>
{| class="wikitable" width="250" style="background-color:#B2FFFF"
Ligne 44 ⟶ 43 :
|}
|-----
| <math>\operatorname{Arctan}arctan</math>
|
{| border="0"
Ligne 67 ⟶ 66 :
|}
</center>
 
<br />​
 
== Dérivée ==
 
{{Théorème
| contenu=La fonction Arctanarctan est dérivable sur <math>]-\infty;+\infty[R</math> et sa dérivée vaut :
<center><math>\operatorname{Arctan}arctan'(x)=\frac1{1+x^2}</math>.</center>
 
<center><math>\operatorname{Arctan}'(x)=\frac1{1+x^2}</math></center>
}}
 
{{Démonstration
| contenu =
Par définition,
:<math>\forall x \in ]-\infty;+\infty[,~\tan (\operatorname{Arctan}\;x)=x</math>
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
En dérivant cette relation, nous avons :
Appliquons le [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Dérivée et opérations|théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque]] aux bijections <math>f=\tan:\left]-\frac\pi2,+\frac\pi2\right[\to\R</math> et <math>f^{-1}=\arctan:\R\to\left]-\frac\pi2,+\frac\pi2\right[</math>.
:<math>\left(1+\tan^2(\operatorname{Arctan}\;x)\right)\cdot \operatorname{Arctan}'\;x=1</math>
 
Puisque
Donc :
:<math>\operatorname{Arctan}'x=forall y\frac{1}{in\left]-\frac\pi2,+\frac\pi2\right[\quad\tan'(y)=1+\tan^2(2y\operatorname{Arctan}\;x)\right)}ne0</math>,
la fonction <math>\arctan</math> est dérivable et
 
:<math>\forall x\in\R\quad\arctan'(x)=\frac1{1+\tan^2(\arctan(x))}=\frac1{1+x^2}</math>.
Et donc finalement :
}}
:<math>\operatorname{Arctan}'x=\frac{1}{1+x^2}</math>,
cette formule étant valable sur <math>]-\infty;+\infty[.</math>}}
 
{{Bas de page