« Espace préhilbertien réel/Produit scalaire » : différence entre les versions

;[[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie|Inégalité triangulaire]]

* <math>\forall(x,y)\in E^2,~|\quad\|x|\|-|\|y|\|\leq |le\|x+y|\|\leq |le\|x|\|+|\|y|\|</math>

* <math>\forall(x,y)\in E^2,~|\quad\|x|\|-|\|y|\|\leq |le\|x-y|\|\leq |le\|x|\|+|\|y|\|</math>

* <math>\forall(x,y)\in E^2,~|\quad\|x+y|\|^2+|\|x-y|\|^2=2|\|x|\|^2+2|\|y|\|^2</math>

* <math>\forall(x,y)\in E^2,~|\quad\|x+y|\|^2=|\|x|\|^2+|\|y|\|^2+2\langle x|y\rangle</math>

* <math>\forall(x,y)\in E^2,~|\quad\|x+y|\|^2-|\|x-y|\|^2=4\langle x|y\rangle</math>}}

L'identité du parallélogramme est importante car on peut montrer qu'''une norme est préhilbertienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme''. LaC'est démonstrationle '''[[w:Théorème de cetteFréchet-von propriétéNeumann-Jordan|théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan]]''', dont la démonstration est laissée en exercice.