« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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== Exercice 1-3==
Déterminer les polynômes <math>P \in \C[X]</math> tels que <math>\left.X P(X+1) = (X+4) P(X)\right.</math>.
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Supposons que <math>a\in\C,\, a\not=0</math> soit une racine de <math>P</math>, alors <math>a P(a+1) = (a+4) P(a) = 0</math>, donc <math>P(a+1) = 0</math>, ainsi <math>a+1</math> est une racine de <math>P</math>.
* Si <math>a \in \C\setminus \N</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>a\N</math>, ce qui est impossible, l’ensemble des racines de <math>P</math> étant fini.
* Si <math>n\in\N^*</math> est racine de <math>P</math>, on abouti à la même contradiction.
* Si <math>n\in\Z,\, n \leq 0</math> est racine de <math>P</math>, alors l’ensemble des racines de <math>P</math> contient <math>\left\{n, n+1, \ldots, 0\right\}</math>.
 
Notons <math>-n</math> la plus petite racine de <math>P</math>, nécessairement les racines de <math>P</math> sont exactement <math>-n</math>, <math>-n+1</math>, ..., <math>0</math>.
 
Comme <math>P\in\C[X]</math>, <math>P</math> est scindé, on a alors :
: <math>P = \alpha \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math>.
 
L'égalité <math>X P(X+1) = (X+4) P(X)</math> s'écrit :
: <math>X \prod_{k=0}^{n} (X+1+k) = (X+4) \prod_{k = 0}^{n} (X+k)</math>
: <math>(X+1+n) = (X+4)</math>
 
Donc nécessairement <math>n = 3</math>.
 
Réciproquement on vérifie que tout polynôme <math>P = \alpha X(X+1)(X+2)(X+3)</math> convient.
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