« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Aucun résumé des modifications |
m meftypo+màj sommaire |
||
Ligne 2 :
| idfaculté = mathématiques
| chapitre = [[../../Limites et continuité/]]
| précédent = [[../../|Sommaire]]
| suivant = [[../
| numéro = 1
| niveau = 15
}}
== Exercice ==
<math>E=\mathcal C([-1
<math>\begin{array}{ccccc}
Ligne 17 :
\end{array}</math>
Montrer que <math>\varphi\in\mathcal
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de
* Soit <math>f\in E</math>. On a
*:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt\right|</math>
*:
*:
*:Conclusion : <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|\leq\ln2</math>.
*On pose pour tout <math>n\in\
** vaut <math>
▲On pose pour tout <math>n\in\mathbb N^*</math> la fonction f<sub>n</sub> de E définie par :
▲* qui vaut -1 sur <math>\left[-1;-\frac1n\right]</math>
▲* affine sur <math>\left[-\frac1n;\frac1n\right]</math>
▲On montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n \rightarrow + \infty}\ln(2)</math>
▲Finalement <math>|||\varphi|||=\ln(2)</math>
}}
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../../|Sommaire]]
| suivant = [[../
}}
|