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« Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice » : différence entre les versions

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→‎Propriétés : mef + c'est un polynôme en A
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{{Propriété|titre=Propriétés
| contenu =
Soient '''<math>A'''</math> et '''<math>B'''</math> deux matrices carrées ''n x ''×''n''.
* #<math>\exp(0) = I_n</math>.▼
 
#Si <math>A=\operatorname{diag}\left(a_1, a_2,\dots, a_n\right)</math>, alors <math>\exp(A)=\operatorname{diag}\left(\mathrm e^{a_1},\mathrm e^{a_2},\dots,\mathrm e^{a_n}\right)</math>.
▲* <math>exp(0) = I_n</math>
*#S'il Siexiste <math>A=diagP\in\operatorname{GL}_n(a_1,K)</math> a_2,tel ...,que a_n)<math>A=PBP^{-1}</math>, alors <math>\exp(A)=diagP\exp(eB)P^{a_1-1}, e^{a_2}, ..., e^{a_n})</math>.
* S'il existe#Si <math>P\in GL_n(\mathbb{K})A</math> tel queet <math> A=P\cdot B\cdot P^{-1}</math> commutent, alors <math>\exp(A + B) =P\cdot exp(A)\exp(B) \cdot P^{-1}</math>.
* #<math>\det (\mathrm e^A) =\mathrm exp (e^{\operatorname{tr}(A))}</math>.▼
* Si A et B commutent, alors <math>exp(A + B) = exp(A) \cdot exp(B)</math>
▲* <math>det (e^A) = exp (tr(A))</math>
}}
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Les 2 premières propriétés sont évidentes.
Ligne 48 ⟶ 47 :
 
Pour la dernière : Il suffit d’utiliser le caractère algébriquement clos de <math>\mathbb{C}</math> pour triangulariser la matrice et le résultat est alors immédiat (utiliser le point 2{{e}} pour revenir à la matrice initiale et la stabilité par produit des matrices triangulaires supérieures/inférieures).
 
}}
 
{{Corollaire
{{Théorème
| contenu=
L'exponentielle d'une matrice <math>A</math> est toujours inversible et son inverse vautest <math>\mathrm e^{-A}</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
il suffit de remarquer que <math>-A</math> commute avec <math>A</math> donc <math>\exp(A) \cdot exp(-A) = \exp(A-A) =\mathrm e^0 = I_n</math>▼
| contenu =
}}
▲il suffit de remarquer que -A commute avec A donc <math>exp(A) \cdot exp(-A) = exp(A-A) = e^0 = I_n</math>
 
{{Proposition|contenu=L'exponentielle de <math>A</math> est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]].
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Voir [[Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie]].
}}
 
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