« Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice » : différence entre les versions

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Soit A une matrice diagonalisable telle que <math>A=P \cdot \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \cdot P^{-1}</math>, alors
 
<math>\exp(A)=P \cdot \begin{pmatrix} e^{a_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{a_n} \end{pmatrix} \cdot P^{-1}</math>
 
}}
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{{Propriété|titre=Matrices nilpotentes
| contenu =
Soit <math>A</math> une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle quequ'il existe un entier naturel <math>\exists q</math> \intel [| 1, n |] \text{ tq }que <math>A^q=0</math>, alors l'exponentielle se transforme en somme finie et
:<math>\exp(A)=\sum_{k=0}^q \frac{A^k}{k!}</math>.
 
<math>exp(A)=\sum_{k=0}^q \frac{A^k}{k!}</math>
}}
 
{{Propriété|titre=Généralisation
| contenu =
Soit <math>A</math> une matrice, on la réduit sous la forme de Jordan. Puis on exponentialise dans chaque sous-espace propre en utilisant les 2 méthodes ci-dessus ''(A compléter)''{{...}}
}}
 
== Utilisation des exponentielles de matrice ==
Les exponentielles matricielles sont principalement utilisées pour la résolution d'[[Équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]].
 
{{...}}
Les exponentielles matricielles sont principalement utilisées pour la résolution d'équations différentielles linéaires
 
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