« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions

+1 : une forme linéaire est continue ssi son noyau est fermé
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(+1 : une forme linéaire est continue ssi son noyau est fermé)
| niveau = 15
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{{clrClr}}
 
== Exercice 1-1==
<math>E=\mathcal C([-1,1],\R)</math> muni de la norme de la convergence uniforme.
 
<math>E=\mathcal C([-1,1],\R)</math> muni de la norme de la convergence uniforme
 
<math>\begin{array}{ccccc}
\varphi&:&E&\rightarrow&\R\\
~&~&f&\mapsto&\displaystyle{\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt}.
\end{array}</math>
 
Montrer que <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et calculer <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|</math>.
{{Solution|contenu=
 
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de <math>\varphi</math>.
* Soit <math>f\in E</math>. On a
*:On montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n\to+\infty}\ln2</math>.
*:Finalement, <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|=\ln2</math>.
}}
 
== Exercice 1-2==
Soient <math>E</math> un <math>K</math>-espace vectoriel normé et <math>u:E\to K</math> une [[Application linéaire/Définitions#Applications linéaires particulières|forme linéaire]]. Montrer que <math>u</math> est continue si et seulement si son noyau est fermé.
{{Solution| contenu =
 
Le singleton <math>\{0\}</math> est fermé dans <math>K</math> donc si <math>u</math> est continue alors <math>\ker u=u^{-1}\left(\{0\}\right)</math> est fermé dans <math>E</math>.
 
Réciproquement, supposons que <math>u</math> n'est pas continue et démontrons que <math>\ker u</math> n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite <math>(x_n)</math> de la boule unité de <math>E</math> telle que <math>\|u(x_n)\|\to+\infty</math>. À partir d'un certain rang <math>N</math>, <math>u(x_n)\ne0</math>, ce qui permet de définir
:<math>y_n:=x_N-\frac{u(x_N)}{u(x_n)}x_n</math>.
Par construction, la suite <math>(y_n)_{n\ge N}</math> est à valeurs dans <math>\ker u</math> et converge vers <math>x_N\notin\ker u</math>, ce qui conclut.
}}
 
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