« Combinatoire/Factorielles » : différence entre les versions

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Un tel produit est appelé une '''factorielle''', et est usuellement noté par un point d'exclamation. On a par exemple 5! = 5✕4✕3✕2✕1.
 
{{Cadre définition|titre=Définition de la factorielle|contenu={{Wikipédia|Factorielle}}
Soit n un nombre entier naturel. On va définir sa factorielle par récurrence. <br />Si n = 0, alors on définit <br /><math>0! = 1</math>;
 
Si n = 0, alors on définit
Autrement, <br /><math>n!=(n-1)!\times n</math>
 
<math>0! = 1</math> ;
 
Autrement,
 
Autrement, <br /><math>n!=(n-1)!\times n</math>
|cbord=blue|cfondtitre=#CCEEFF|cfondtexte=#EEF0FF}}
 
On vérifie que cette définition correspond bien à l’idée intuitive que l’on en avait donné au-dessus. Ainsi, par exemple,
 
<math>5! = 4!\times5 </math> (par définition de 5!)<br />
 
<math>5! = (3!\times4)\times5 </math> (par définition de 4!)<br />
<math>5! = (23!\times3times4)\times4\times5 </math> (par définition de 34!)<br />
 
<math>5! = (1!\times2)\times3\times4\times5 </math> (par définition de 2!)<br />
<math>5! = (02!\times1times3)\times2\times3\times4\times5 </math> (par définition de 13!)<br />
 
<math>5! = 1\times1\times2\times3\times4\times5 = 5\times4\times3\times2\times1 </math> (par définition de 0!)<br />
<math>5! = (31!\times4times2)\times3\times4\times5 </math> (par définition de 42!)<br />
 
<math>5! = (10!\times2times1)\times2\times3\times4\times5 </math> (par définition de 21!)<br />
 
<math>5! = 1\times1\times2\times3\times4\times5 = 5\times4\times3\times2\times1 </math> (par définition de 0!)<br />
 
On obtient donc la bonne égalité.
Ligne 39 ⟶ 51 :
| symbole = question
| cadre = oui
| contenu = '''Je comprends ce que signifie la factorielle pour un nombre entier positif. En revanche, pourquoi avoir défini 0! = 1 ? Cette expression ne semble pas avoir de sens. Puis, quitte à donner une valeur à 0!, on devrait avoir 0! = 0✕10×1 = 0, non?'''
 
C'est vrai qu’àqu’a priori c’est une définition qui peut paraître arbitraire. Si on voit la factorielle comme le produit des « n premiers entiers positifs », alors 0!, le « produit des 0 premiers entiers positifs », n'a simplement aucun sens.
En fait, la valeur donnée à la factorielle de 0 est purement conventionnelle. Cette convention a été choisie pour deux raisons :
 
* On aurait pu décider de ne pas donner de sens à 0! tout comme on ne donne pas de sens à <math>\scriptstyle{\frac{1}{0}}</math>. C'est une position qui aurait été défendable. Seulement, cela aurait empêché la formulation générale de certaines formules qui seront présentées plus loin dans le cours.
* Si l'on avait choisi 0! = 0 ou bien une toute autre valeur, la définition au-dessus n'aurait pas pu marcher. On aurait eu par exemple 1! = 0!✕0×0 = 0. Si l'on veut donner une valeur à 0!, la seule possible est 1.
C'est un peu comme quand on a défini '''a<sup>0</sup> = 1'''. Mettre n’importe quel nombre à la puissance 0 n'a àa priori pas de sens. Mais on a la formule bien connue :
 
<math>a^{x+y} = a^x\times a^y</math>
 
Et on aimerait qu'elle soit vraie aussi si x ou y est nul, ce qui force à définir '''a<sup>0</sup> = 1'''. Il s'agit du même type de choix conventionnel que dans le cas de la factorielle de 0.
}}
 
En résumé :
<br />
<center>par convention, le [[w:Produit vide|produit vide]] est égal à 1, et cette convention est compatible avec les règles de calcul usuelles.</center>
}}
 
=== Calcul avec les factorielles ===