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== Exercice 1-2 ==
On note <math>E_n</math> l’ensemble des polynômes unitaires de degré <math> n </math> de <math> \mathbb Z [X] </math> dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
# Montrer que <math> E E_n</math> est fini.
# Soit <math> P = \prod_{k=1}^n (X - x_kz_k) </math> un élément de <math> E_n </math>. On note <math> P' Q</math> le polynôme <math> \prod_{k=1}^n (X - x_k z_k^2) </math>. Montrer que <math> P' Q\in E_n </math>.
# Montrer que les racines non nulles des éléments de <math> E_n </math> sont des racines de l'unité.
 
{{Solution|contenu=}}
#D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
#<math>Q\in\Z[X]</math> car <math>(-1)^nQ(X^2)=P(X)P(-X)</math>.
#Soit <math>z</math> une racine non nulle d'un élément de <math>E_n</math>. D'après la question 2, les <math>z^{2^p}</math> pour <math>p\in\N</math> sont aussi des racines d'éléments de <math>E_n</math> et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc <math>p,q\in\N</math> distincts tels que <math>z^{2^p}=z^{2^q}</math>.
}}
 
== Exercice 1-3==
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