« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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permutation des exos 2 et 3 + généralisation de l'ex-exo 2 + exo standard sur les suites des images et noyaux des itérés |
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Ligne 10 :
{{Clr}}
== Exercice 2-1
Soient <math>u\in\operatorname L(E,F)</math> et <math>v\in\operatorname L(F,G)</math>.
Vérifier que <math>v\circ u=0</math> si et seulement si <math>\operatorname{
{{Solution|contenu=
<math>\begin{align}v\circ u=0&\Leftrightarrow\forall x\in E\quad v\left(u(x)\right)=0\\&\Leftrightarrow\forall x\in E\quad u(x)\in\
}}
== Exercice 2
Soit <math>u\in\operatorname L(E)</math>.▼
#Vérifier que <math>\operatorname{Ker}u\subset\operatorname{Ker}u^2</math> et <math>\operatorname{Im}u^2\subset\operatorname{Im}u</math>.▼
#Montrer que <math>\operatorname{Ker}u=\operatorname{Ker}u^2\Leftrightarrow\operatorname{Ker}u\cap\operatorname{Im}u=\{0\}</math>.▼
#Montrer que <math>\operatorname{Im}u=\operatorname{Im}u^2\Leftrightarrow E=\operatorname{Im}u+\operatorname{Ker}u</math>.▼
{{Solution|contenu=▼
#<math>\forall x\in\operatorname{Ker}u\quad u^2(x)=u\left(u(x)\right)=u(0)=0</math> donc <math>x\in\operatorname{Ker}u^2</math>. On a donc bien <math>\mathrm{Ker}(u)\subset\mathrm{Ker}(u^2)</math>.<br />D'autre part (comme pour toute application de <math>E</math> dans <math>E</math>, même non linéaire) <math>\operatorname{Im}u^2=u^2(E)=u\left(u(E)\right)\subset u(E)=\operatorname{Im}u</math>.▼
#D'après la question 1, il reste à démontrer que <math>\operatorname{Ker}u^2\subset\operatorname{Ker}u\Leftrightarrow\operatorname{Ker}u\cap\operatorname{Im}u\subset\{0\}</math>.<br /><math>\operatorname{Ker}u\cap\operatorname{Im}u\subset\{0\}\Leftrightarrow\forall y\in\operatorname{Im}u\quad\left(u(y)=0\Rightarrow y=0\right)\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\left(u\left(u(x)\right)=0\Rightarrow u(x)=0\right)\Leftrightarrow\operatorname{Ker}u^2\subset\operatorname{Ker}u</math>.▼
#D'après la question 1, il reste à démontrer que <math>\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Im}u^2\Leftrightarrow E\subset\operatorname{Im}u+\operatorname{Ker}u</math>.<br /><math>E\subset\operatorname{Im}u+\operatorname{Ker}u\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\exists y\in\operatorname{Im}u\quad u(x-y)=0\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\exists z\in E\quad u\left(x-u(z)\right)=0\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\exists z\in E\quad u(x)=u^2(z)\Leftrightarrow\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Im}u^2</math>.▼
}}▼
== Exercice 3 ==▼
Soient <math>u,v,w\in\operatorname L(E)</math> tels que <math>u\circ v=w</math>, <math>v\circ w=u</math> et <math>w\circ u=v</math>.
Ligne 39 ⟶ 27 :
*<math>u\circ v=w\Rightarrow\operatorname{Ker}v\subset\operatorname{Ker}w</math>. De même, <math>\operatorname{Ker}w\subset\operatorname{Ker}u</math> et <math>\operatorname{Ker}u\subset\operatorname{Ker}v</math>. Les trois noyaux sont donc égaux.
*<math>u\circ v=w\Rightarrow\operatorname{Im}w\subset\operatorname{Im}u</math>. De même, <math>\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Im}v</math> et <math>\operatorname{Im}v\subset\operatorname{Im}w</math>. Les trois images sont donc égales.
▲}}
▲#Vérifier que <math>\
▲#Montrer que <math>\
▲#Montrer que <math>\operatorname{
▲{{Solution|contenu=
▲#<math>\forall x\in\
▲#D'après la question 1, il reste à démontrer que <math>\
▲#D'après la question 1, il reste à démontrer que <math>\operatorname{
}}
== Exercice 2-4==
Soit <math>\varphi\in\operatorname L(E)</math>. En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :
#la suite des noyaux des itérés de <math>\varphi</math> est croissante et celle des images est décroissante : <math>\forall n\in\N\quad\ker\left(\varphi^n\right)\subset\ker\left(\varphi^{n+1}\right)\quad\text{et}\quad\operatorname{im}\left(\varphi^n\right)\supset\operatorname{im}\left(\varphi^{n+1}\right)</math> ;
#s'il existe au moins un <math>n</math> tel que <math>\ker\left(\varphi^n\right)=\ker\left(\varphi^{n+1}\right)</math> alors la suite des noyaux est strictement croissante jusqu'à un certain rang <math>p</math>, puis constante à partir de ce rang ;
#s'il existe au moins un <math>n</math> tel que <math>\operatorname{im}\left(\varphi^n\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^{n+1}\right)</math> alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang <math>q</math>, puis constante à partir de ce rang ;
#si les deux suites stationnent alors <math>E=\ker(\varphi^q)\oplus\operatorname{im}(\varphi^p)</math> et <math>p=q</math> ;
#si <math>E</math> est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier <math>p=q</math> est au plus égal à <math>\dim(E)</math>.
{{Solution|contenu=
#Appliquer la question 1 de l'exercice précédent à <math>u=\varphi</math> et <math>v=\varphi^n</math>.
#Soit <math>p</math> le plus petit des entiers <math>n</math> tels que <math>\ker\left(\varphi^n\right)=\ker\left(\varphi^{n+1}\right)</math>. Pour tout <math>n\ge p</math>, en prenant les images réciproques par <math>\varphi^{n-p}</math> des deux membres de l'égalité <math>\ker\left(\varphi^p\right)=\ker\left(\varphi^{p+1}\right)</math>, on obtient : <math>\ker\left(\varphi^n\right)=\ker\left(\varphi^{n+1}\right)</math>.
#Soit <math>q</math> le plus petit des entiers <math>n</math> tels que <math>\operatorname{im}\left(\varphi^n\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^{n+1}\right)</math>. Pour tout <math>n\ge q</math>, en prenant les images directes par <math>\varphi^{n-q}</math> des deux membres de l'égalité <math>\operatorname{im}\left(\varphi^q\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^{q+1}\right)</math>, on obtient : <math>\operatorname{im}\left(\varphi^n\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^{n+1}\right)</math>.
#<math>\ker\left(\varphi^{p+q}\right)=\ker\left(\varphi^p\right)</math> et <math>\operatorname{im}\left(\varphi^{p+q}\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^q\right)</math> donc d'après les questions 2 et 3 de l'exercice précédent :<center><math>(1)\quad\ker\left(\varphi^q\right)\cap\operatorname{im}\left(\varphi^p\right)=\{0\}</math> et <math>(2)\quad E=\operatorname{im}\left(\varphi^p\right)+\ker\left(\varphi^q\right)</math>,</center>autrement dit : <math>E=\ker(\varphi^q)\oplus\operatorname{im}(\varphi^p)</math>.
#*Si <math>p\ge q</math>, on déduit de <math>(1)</math> que <math>\ker\left(\varphi^q\right)\cap\operatorname{im}\left(\varphi^q\right)=\{0\}</math>, c'est-à-dire <math>\ker\left(\varphi^{2q}\right)=\ker\left(\varphi^q\right)</math>, donc <math>p\le q</math>.
#*Si <math>q\ge p</math>, on déduit de <math>(2)</math> que <math>E=\operatorname{im}\left(\varphi^p\right)+\ker\left(\varphi^p\right)</math>, c'est-à-dire <math>\operatorname{im}\left(\varphi^{2p}\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^p\right)</math>, donc <math>q\le p</math>.
#:Dans les deux cas, on peut donc conclure : <math>p=q</math>.
#Si <math>E</math> est de dimension finie <math>n</math>, on ne peut pas avoir <math>\{0\}\subsetneq\ker\left(\varphi\right)\subsetneq\ker\left(\varphi^2\right)\subsetneq\dots\subsetneq\ker\left(\varphi^{n+1}\right)</math>, car <math>\dim\left(\ker\left(\varphi^{n+1}\right)\right)\le n</math>. Donc la suite des noyaux stationne à partir d'un rang <math>p\le n</math>. On démontre de même que la suite des images stationne à partir d'un rang <math>q\le n</math>.
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