« Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1 » : différence entre les versions
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idem |
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Ligne 9 :
{{Clr}}
== Exercice 3-1==
En supposant <math>a+b+c=\pi</math>, simplifier les expressions :
Ligne 27 :
&=4\sin c\cos a\cos b\end{align}</math>
}}
==Exercice 3-2==
Calculer la somme :
:<math>S=\sin^4\frac\pi8+\sin^4\frac{3\pi}8+\sin^4\frac{5\pi}8+\sin^4\frac{7\pi}8</math>
{{Solution|contenu=
:<math>\begin{align}S&=2\left(\sin^4\frac\pi8+\cos^4\frac{\pi}8\right)\\
&=2\left(\left(\sin^2\frac\pi8+\cos^2\frac{\pi}8\right)^2-2\sin^2\frac\pi8\cos^2\frac{\pi}8\right)\\
&=2-\sin^2\frac\pi4\\
&=\frac32.\end{align}</math>
<!--
Ou par les complexes, mais c'est plus complexe ;) :
:<math>\begin{align}2^4S&=\sum_{k=0}^3\left(\mathrm e^{\mathrm i\frac{\pi}8(1+2k)}-\mathrm e^{-\mathrm i\frac{\pi}8(1+2k)}\right)^4\\
&=\sum_{k=0}^3\left(\mathrm e^{\mathrm i\frac{\pi}2(1+2k)}+\mathrm e^{-\mathrm i\frac{\pi}2(1+2k)}\right)-4\sum_{k=0}^3\left(\mathrm e^{\mathrm i\frac{\pi}4(1+2k)}+\mathrm e^{-\mathrm i\frac{\pi}4(1+2k)}\right)+6\sum_{k=0}^31\\
&=\left(\mathrm i-\mathrm i\right)\left(1-1+1-1\right)-4\left(\mathrm e^{\mathrm i\frac{\pi}4}+\mathrm e^{-\mathrm i\frac{\pi}4}\right)\left(1+\mathrm i-1-\mathrm i\right)+24
\end{align}</math>
donc <math>S=\frac32</math>.
-->
}}
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