« Fonction exponentielle/Exercices/Propriétés algébriques de l'exponentielle » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exercice 5 : + |
→Exercice 5 : généralisation à peu de frais, pour remplacer une démo de Wikipédia par un renvoi vers ici |
||
Ligne 53 :
== Exercice 5==
Soit <math>
:<math>\forall x,y\in
Démontrer que :
#<math>f(0)=1</math> ;
#<math>\forall x\in
#<math>\forall x\in
#Pour tout
#Si <math>f</math> est définie sur <math>\R</math> et continue en un point alors elle est continue sur <math>\R</math>.
#Si <math>f</math> est continue sur <math>\R</math> alors elle est de la forme <math>x\mapsto\exp(kx)</math>.
{{Solution|contenu=
#Puisque <math>f\ne0</math>, il existe <math>a\in D</math> tel que <math>f(a)\neq 0</math>. Mais alors <math>f(a+0)=f(a)f(0)</math> donc <math>f(0)=1</math>.
#<math>f(x)f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=1</math>.
#<math>f(x)\ne0</math> d'après le point précédent, et <math>f(x)=f(x/2)^2</math>.
#Le cas <math>r\in\Z</math> se démontre exactement de la même façon que pour <math>f=\exp</math> (cf. cours). On en déduit en particulier que pour tout entier <math>q>0</math>, <math>f(x)=\sqrt[q]{f(qx)}</math> (cf. chap. 7). Par conséquent (cf. chap. 7), pour tout
#Supposons <math>f</math> continue en <math>x</math>. Alors elle est continue en tout <math>y\in\R</math> car quand <math>h\to0</math>, <math>f(y+h)=f(x+h)f(y-x)\to f(x)f(y-x)=f(y)</math>.
#Soit <math>k</math> le réel tel que <math>\exp(k)=f(1)</math>. Les deux fonctions <math>f</math> et <math>x\mapsto\exp(kx)</math> coïncident en <math>1</math>, donc sur <math>\Q</math> d'après la question 4, donc sur <math>\R</math> par continuité.
| |||