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solution des exos 1 et 2 |
oups (fin de la sol du 5-1) + simplifs |
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Ligne 10 :
<math>E=\mathcal C^2([0,1],\R)</math>.
On pose <math>\forall (f,g)\in E^2\quad(f|g)=\int_0^1\left
# Vérifier que <math>(\cdot|\cdot)</math> est un produit scalaire sur ''E''.
Ligne 16 :
## Vérifier que ''V'' et ''W'' sont orthogonaux.
## Exprimer la projection orthogonale de ''E'' sur ''V''.
# On pose <math>F=\{f\in E\mid f(0)=\alpha,~f(1)=\beta\}</math>. Calculer <math>\inf_{f\in F}
{{Solution|contenu=
# On reconnait <math>(\cdot|\cdot)</math> comme étant la restriction du produit scalaire canonique sur <math>\mathcal C^1([0
#*
#*
#*
#:<math>(\cdot|\cdot)</math> est donc bien un produit scalaire sur <math>\mathcal C^1([0,1],\R)</math> et, par restriction, sur ''E''. On pourrait d'ailleurs remplacer partout dans l'énoncé <math>\mathcal C^2([0,1],\R)</math> par <math>\mathcal C^1([0,1],\R)</math> (la définition de <math>W</math> garde un sens et ses éléments sont automatiquement de classe <math>C^\infty</math>) sans changer un iota de ce qui suit.▼
▲#:<math>(\cdot|\cdot)</math> est donc bien un produit scalaire sur <math>\mathcal C^1([0,1],\R)</math> et par restriction, sur ''E''. On pourrait d'ailleurs remplacer partout dans l'énoncé <math>\mathcal C^2([0,1],\R)</math> par <math>\mathcal C^1([0,1],\R)</math> (la définition de <math>W</math> garde un sens et ses éléments sont automatiquement de classe <math>C^\infty</math>) sans changer un iota de ce qui suit.
#
## Soient <math>v
##:<math>(v|w)
## Soit <math>f\in E</math>. Notons <math>\alpha=f(0),\beta=f(1)</math>, et cherchons <math>\lambda,\mu\in\R</math> tels que la fonction <math>g:x\mapsto\lambda\operatorname e^x+\mu\operatorname e^{-x}</math> (qui appartient à <math>W</math> donc à <math>V^\perp</math>) vérifie : <math>f-g\in V</math>. Ainsi, <math>f-g</math> sera le projeté orthogonal de <math>f</math> sur <math>V</math> (et cela prouvera de plus que <math>V</math> et <math>W</math> sont non seulement orthogonaux, mais supplémentaires). La condition sur <math>\lambda,\mu</math> est :▼
▲## Soit <math>f\in E</math>. Notons <math>\alpha=f(0),\beta=f(1)</math>, et cherchons <math>\lambda,\mu\in\R</math> tels que la fonction <math>g:x\mapsto\lambda\operatorname e^x+\mu\operatorname e^{-x}</math> (qui appartient à <math>W</math> donc à <math>V^\perp</math>) vérifie : <math>f-g\in V</math>. Ainsi, <math>f-g</math> sera le projeté orthogonal de <math>f</math> sur <math>V</math> (et cela prouvera de plus que <math>V</math> et <math>W</math> sont supplémentaires). La condition sur <math>\lambda,\mu</math> est :
##::<math>\lambda+\mu=\alpha</math> et <math>\lambda\mathrm e+\mu\operatorname e^{-1}=\beta</math>
##:donc la solution est :
##::<math>\lambda=\frac{
#Soit <math>f\in F</math>. Alors, <math>F=f+V</math> donc
#:<math>\inf_{h\in F}\|h\|^2=d(0,F)^2=d(0,f+V)^2=d(-V,f)^2</math> est égal, avec les notations de la réponse
#:<math>\|g\|^2=\
}}
Ligne 48 ⟶ 46 :
Soit <math>f:[a,b]\to\R</math> continue strictement positive.
Démontrer l’existence d'une famille <math>(P_n)</math> de polynômes telle que <math>\forall n\in\N\quad
Démontrer qu'alors, chaque polynôme <math>P_n</math> admet <math>n</math> racines
{{Solution|contenu=}}
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