« Espace préhilbertien réel/Produit scalaire » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 66 :
 
== Exemples fondamentaux ==
Outre l'exemple du produit scalaire canonique sur <math>\R^n</math>, décrit dans la leçon sur les espaces euclidiens qui figure en prérequis, on peut mentionner celui sur <math>\operatorname M_{m,n}(\R)</math> qui n'en est qu'un cas particulier déguisé (cf. [[Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices]]), mais aussi des exemples sur des espaces de dimension infinie :
 
{{exemple|titre=Produit scalaire et norme dans Rⁿ|contenu=
<math>E=\R^n</math> muni du produit scalaire usuel <math>\forall(x,y)\in E^2,~\langle x|y\rangle=\sum_{i_1}^nx_iy_i</math>
* La norme associée est la norme euclidienne : <math>\forall x\in E,~||x||=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}</math>
* L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(x,y)\in E^2,~\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^niy_i^2\right)</math>}}
 
 
{{exemple|titre=Produit scalaire et norme dans C([a,b])</sup>|contenu=
<math>E=\mathcal C([a,b])</math> muni du produit scalaire <math>\forall(f,g)\in E^2,~\quad\langle f|g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)~\mathrm dt</math>
* La norme associée est la norme 2 : <math>\forall f\in E,~|\quad\|f|\|_2=\sqrt{\int_a^b f(t)^2~\mathrm dt}</math>
* L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(f,g)\in E^2,~\quad\left(\int_a^b f(t)g(t)~\mathrm dt\right)^2\leq\left(\int_a^bf(t)^2~\mathrm dt\right)\left(\int_a^bg(t)^2~\mathrm dt\right)</math>}}
 
 
{{exemple|titre=Produit scalaire et norme dans l²(R)|contenu=
<math>E=\ell^2(\R)</math> muni du produit scalaire <math>\forall(u,v)\in E^2,~\quad\langle u|v\rangle=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n</math>
* La norme associée est la norme 2 : <math>\forall u\in E,~|\quad\|u|\|_2=\sqrt{\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2}</math>
* L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(u,v)\in E^2,~\quad\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n\right)^2\leq \left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}v_n^2\right)</math>}}
 
{{exemple|titre=Produit scalaire dans <math>R^{np}</math>|contenu=
On pose :
* <math>E=\R^{np}</math>
* <math> A=(a_{i,j})_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p}</math> et <math> B=(b_{i,j})_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p}</math> deux matrices dans <math>\mathcal M_{n,p}(\R)</math>
 
On définit le produit scalaire usuel <math> (A\mid B) = \sum_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} a_{i,j}b_{i,j} = \mathrm{Tr}(^tAB)=\mathrm{Tr}(^tBA)</math>
* L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\sum_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} a_{i,j}b_{i,j}\leq \left(\sum_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} a_{i,j}^2\right)\left(\sum_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} b_{i,j}^2\right)</math>
ou <math>\mathrm{Tr}(^tBA)\leq \left(\mathrm{Tr}(^tAA)\right)\left(\mathrm{Tr}(^tBB)\right)</math>}}
 
 
{{Bas de page