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| niveau = 15
}}
{{Clr}}
{{définition
| contenu =
On notera φ l’application définidéfinie par :
<math> \begin{align}
\phivarphi :\left(\mathcaloperatorname M_{n,m,n}(\R)\right)^2&\longrightarrow\R \\
(MA,NB)&\longmapsto \operatorname{Tr}(^tM.Nt\!AB)=\sum_{1\le i\le m,\,1\le j\le n}A_{i,j}B_{i,j}
\end{align} </math>
}}
| titre = Propriété 10
| contenu =
φ<math>\varphi</math> est uneun formeproduit bilinéairescalaire sur M<sub>''m'',''n''</sub>(ℝ).
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
{{Encart
On reconnait l'écriture du [[Espace euclidien/Produit scalaire|produit scalaire canonique sur ℝ{{exp|''mn''}}]], naturellement isomorphe à M<sub>''m'',''n''</sub>(ℝ).
| symbole = démonstration
| contenu = '''Démonstration'''
En effet :
<math> \begin{align}
\forall (\alpha,\beta)\in\R^2\qquad\forall (A,B,C)\in \left( \mathcal M_{n,m}(\R) \right)^2\qquad
\phi(\alpha A+\beta B,C)&=\operatorname{Tr}\left(^t(\alpha A+\beta B).C \right) \\
&=\operatorname{Tr}\left((\alpha^t A+\beta^t B).C \right) \\
&=\operatorname{Tr}\left(\alpha^t A.C+\beta^t B.C \right) \\
&=\alpha \operatorname{Tr}(^t A.C)+\beta \operatorname{Tr}(^tB.C) \\
&=\alpha \phi(A,C)+\beta \phi(B,C)
\end{align} </math>
Et on a aussi :
<math> \begin{align}
\forall (\alpha,\beta)\in\R^2\qquad\forall (A,B,C)\in \left( M_{n,m}(\R) \right)^2\qquad
\phi(C,\alpha A+\beta B)&=\operatorname{Tr}\left(^tC.(\alpha A+\beta B) \right) \\
&=\operatorname{Tr}\left(\alpha^tC. A+\beta^tC.B \right) \\
&=\alpha \operatorname{Tr}(^tC.A)+\beta \operatorname{Tr}(^tC.B) \\
&=\alpha \phi(C,A)+\beta \phi(C,B)
\end{align} </math>
}}
<br />
{{propriété
| titre = Propriété 11
| contenu =
φ est un produit scalaire sur M<sub>m,n</sub>(ℝ).
On rappelle qu’un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
φ est une forme bilinéaire d’après la propriété 10.
φ est symétrique d’après la propriété 9.
φ est définie d’après la propriété 8.
φ est positive d’après la propriété 7.
φ est donc un produit scalaire.
Muni de ce produit scalaire M<sub>m,n</sub>(ℝ) est un espace Euclidien.
Ce produit scalaire généralise le produit scalaire classique étudié en lycée.
En effet, si l’on considère un espace vectoriel de dimension n et que l’on assimile chaque vecteur de cet espace à la matrice colonne de ses coordonnées dans une base de cet espace, on aura :
<math> \begin{align}
\forall u=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\quad
\forall v=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\qquad
\phi(u,v)&=\operatorname{Tr}\left(^t\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\right)
=\operatorname{Tr}\left(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\right)\\
&=\operatorname{Tr}\left((x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)\right)
=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n
\end{align}</math>
Et l’on reconnaît le produit scalaire tel qu’il a été défini au lycée.
<math> u.v=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n </math>
Nous noterons par la suite pour toute matrice A,B,C,D appartenant à M<sub>m,n</sub>(ℝ) :
}}
{{Propriété|titre=Propriété 11 (inégalité de Cauchy-Schwarz)|contenu=
<br />
<math>\forall A,B\in\operatorname M_{m,n}(\R)\quad \mathrm{Tr}(^t\!BA)\leq \left(\mathrm{Tr}(^t\!AA)\right)\left(\mathrm{Tr}(^t\!BB)\right)</math>.
{{propriété
| titre = Propriété 12
| contenu =
<math> \forall (A,B,C)\in \left( \mathcaloperatorname M_{m,n,m}(\R) \right)^3\qquadquad\langle A.B|C\rangle = \langle B|^tA.C\rangle </math>
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
{{Encart
:<math> \langle A.B|C\rangle =\operatorname{Tr}\left(^t(AB)C\right) =\operatorname{Tr}\left(^tB^tAC\right) =\langle B|^tA.C\rangle </math> .▼
| symbole = démonstration
| contenu = '''Démonstration'''
En effet :
▲<math> \langle A.B|C\rangle =\operatorname{Tr}\left(^t(AB)C\right) =\operatorname{Tr}\left(^tB^tAC\right) =\langle B|^tA.C\rangle </math>
}}
<br />
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