« Espace préhilbertien réel/Projecteurs orthogonaux » : différence entre les versions
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=== Projection sur un sous-espace vectoriel ===
Soit ''F'' un sous-espace vectoriel de ''E'' de '''dimension finie'''.▼
{{Définition|contenu=▼
▲Soit F un sous-espace vectoriel de E de '''dimension finie'''.
}}
{{Propriété|contenu=▼
▲{{Définition
▲ | contenu = On appelle '''projecteur orthogonal sur F''' et on note <math>p_F</math> le projecteur sur F parallèlement à <math>F^\perp</math>.}}
▲{{Propriété
}}
▲Soit <math>(x,y)\in E^2</math>
▲* <math>||p_F(x)||\leq ||x||</math>
▲* <math>||p_F(x)|| =||x|| \Leftrightarrow x\in F</math>
▲* <math>\langle p_F(x)|y\rangle=\langle x|p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
* <math>E=F\oplus F^\perp</math> donc
*:<math>\begin{matrix} x&=&\underbrace{ p_F(x)}&+&\underbrace{ x-p_F(x) } \\ &&\in F&&\in F^\perp \end{matrix}</math>
*:On applique le théorème de Pythagore : <math>
*:On a égalité
* <math>y=p_F(y)+y-p_F(y)</math>
*:<math>\langle p_F(x)|y\rangle = \langle p_F(x)|p_F(y)\rangle+\langle p_F(x)|y-p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>
*:<math>\langle x|p_F(y)\rangle = \langle p_F(x)|p_F(y)\rangle+\langle x-p_F(x)|p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>.
}} {{Propriété|contenu=
▲Si F est de dimension ''n'', il existe une base e de ''n'' vecteurs de F.
}}
▲:<math>\forall x\in E,~p_F(x)=\sum_{i=1}^n \langle e_i|x\rangle e_i</math>}}
{{CfExo
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{{Théorème
| titre = Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie
| contenu = Soit <math>x\in E</math>.
*La '''distance de ''x'' à F''' vaut <math>d(x,F)=\|x-p_F(x)\|</math>.
* <math>
}}
=== Décomposition sur une somme directe de sous-espaces vectoriels ===
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