« Espace préhilbertien réel/Projecteurs orthogonaux » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m →Projection sur un sous-espace vectoriel : mep+Style+mef |
page_liée exos + rectifs + mef |
||
Ligne 5 :
| suivant = [[../|Sommaire]]
| niveau = 15
}}
__TOC__
{{Clr}}
▲On suppose travailler dans E en tant qu'espace préhilbertien, réel, muni du produit scalaire <math>\scriptstyle{\langle\cdot|\cdot\rangle}</math> et de la norme associée <math>\scriptstyle{||\cdot||}</math>.
▲=== Projection sur un sous-espace vectoriel ===
Soit ''F'' un sous-espace vectoriel de ''E'' de '''dimension finie'''.
Ligne 36 :
{{Propriété|contenu=
Si ''F'' est de dimension ''n'' et si ''e'' est une base orthonormée de ''F'' alors
:<math>\forall x\in E\quad p_F(x)=\sum_{i=1}^n \langle e_i|x\rangle e_i</math>.
}}
▲ | exercice = [[../Exercices/Calcul d'intégrales|Minoration d'intégrales]]
{{Théorème
Ligne 53 ⟶ 49 :
}}
==
{{Propriété
| titre = Généralisation
| contenu = Soit <math>(F_i)_{1\leq i \leq r}</math> une famille de ''r'' sous-espaces vectoriels de E, orthogonaux deux à deux et telle que <math>E=\bigoplus_{i=1}^r F_i</math>.
On note <math>(p_i)_{1\leq i \leq r}</math> la famille de projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition, c'est-à-dire que <math>\forall i,~p_i</math> est le projecteur orthogonal sur ''F<sub>
:<math>{\rm Id}_E=\sum_{i=1}^r p_i</math>.
:<math>\forall x\in E
}}
{{Bas de page
| |||