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« Espace préhilbertien réel/Projecteurs orthogonaux » : différence entre les versions

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m →‎Projection sur un sous-espace vectoriel : -redondance énoncé + simplif démo
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* <math>\|p_F(x)\|\le\|x\|</math> ;
* <math>\|p_F(x)\|=\|x\|\Leftrightarrow x\in F</math> ;
* <math>\langle p_F(x)|y\rangle=\langle x|p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>.
}}
 
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*:<math>\begin{matrix} x&=&\underbrace{ p_F(x)}&+&\underbrace{ x-p_F(x) } \\ &&\in F&&\in F^\perp \end{matrix}</math>
*:On applique le théorème de Pythagore : <math>\|x\|^2=\|p_F(x)\|^2+\|x-p_F(x)\|^2</math>, d'où <math>\|p_F(x)\|\le\|x\|</math>.
*:On a égalité si et seulement si <math>\|x-p_F(x)\|^2=0</math>, ce qui équivaut à <math>x=p_F(x)</math> donc à <math>x\in F</math>.
* <math>y=p_F(yx)+\in F</math> et <math>y-p_F(y)\in F^\perp</math> donc
*:<math>0=\langle p_F(x)|y\rangle = \langle p_F(x)|-p_F(y)\rangle+=\langle p_F(x)|y-p_F(y)\rangle=-\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>.
*:<math>\langle x|p_F(y)\rangle = \langle p_F(x)|p_F(y)\rangle+\langle x-p_F(x)|p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>.
}}
 
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| titre = Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie
| contenu = Soit <math>x\in E</math>.
*La '''distance de ''<math>x''</math> à <math>F'''</math> vaut <math>d(x,F)=\|x-p_F(x)\|</math>.
* <math>d(x,F)^2=\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2</math>.
* <math>p_F(x)</math> est l'unique vecteur ''y'' de ''F'' vérifiant <math>\|x-y\|=d(x,F)</math>.
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