« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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permutation des exos 2 et 3 + généralisation de l'ex-exo 2 + exo standard sur les suites des images et noyaux des itérés |
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Ligne 53 :
#Soit <math>p</math> le plus petit des entiers <math>n</math> tels que <math>\ker\left(\varphi^n\right)=\ker\left(\varphi^{n+1}\right)</math>. Pour tout <math>n\ge p</math>, en prenant les images réciproques par <math>\varphi^{n-p}</math> des deux membres de l'égalité <math>\ker\left(\varphi^p\right)=\ker\left(\varphi^{p+1}\right)</math>, on obtient : <math>\ker\left(\varphi^n\right)=\ker\left(\varphi^{n+1}\right)</math>.
#Soit <math>q</math> le plus petit des entiers <math>n</math> tels que <math>\operatorname{im}\left(\varphi^n\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^{n+1}\right)</math>. Pour tout <math>n\ge q</math>, en prenant les images directes par <math>\varphi^{n-q}</math> des deux membres de l'égalité <math>\operatorname{im}\left(\varphi^q\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^{q+1}\right)</math>, on obtient : <math>\operatorname{im}\left(\varphi^n\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^{n+1}\right)</math>.
#<math>\ker\left(\varphi^{p+q}\right)=\ker\left(\varphi^p\right)</math> et <math>\operatorname{im}\left(\varphi^{p+q}\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^q\right)</math> donc d'après les questions 2 et 3 de l'exercice précédent :<div style="text-align: center;"><math>(1)\quad\ker\left(\varphi^q\right)\cap\operatorname{im}\left(\varphi^p\right)=\{0\}</math> et <math>(2)\quad E=\operatorname{im}\left(\varphi^p\right)+\ker\left(\varphi^q\right)</math>,</
#*Si <math>p\ge q</math>, on déduit de <math>(1)</math> que <math>\ker\left(\varphi^q\right)\cap\operatorname{im}\left(\varphi^q\right)=\{0\}</math>, c'est-à-dire <math>\ker\left(\varphi^{2q}\right)=\ker\left(\varphi^q\right)</math>, donc <math>p\le q</math>.
#*Si <math>q\ge p</math>, on déduit de <math>(2)</math> que <math>E=\operatorname{im}\left(\varphi^p\right)+\ker\left(\varphi^p\right)</math>, c'est-à-dire <math>\operatorname{im}\left(\varphi^{2p}\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^p\right)</math>, donc <math>q\le p</math>.
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