« Approfondissement sur les suites numériques/Convergence » : différence entre les versions

* Soit <math>\ell</math> un réel. La suite <math>(u_n)</math> a pour limite <math>\ell</math> si <math>(u_n)</math> est aussi proche de <math>\ell</math> que l’on veut à partir d’un certain rang, c'est-à-dire si quel que soit <math>\varepsilon>0</math>, tous les termes de la suite <math>(u_n)</math> appartiennent à un intervalle <math>\left]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon\right[</math> sauf un nombre fini de termes, autrement dit :<div style="text-align: center;"><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad\left|u_n-\ell\right|<\varepsilon</math>.</centerdiv>On écrit alors : <math>\lim_{n \to +\infty}u_n=\ell</math> ou, par abus, <math>\lim u_n=\ell</math>, voire <math>u_n \rightarrow \ell</math>.

*<math>\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty</math> si <math>u_n</math> est aussi grand que l’on veut à partir d’un certain rang. C'est-à-dire :<div style="text-align: center;"><math> \forall A \in \R\quad\exists N\in \N\quad\forall n\ge N\quad u_n > A </math>.</centerdiv>

* <math>\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty</math> si <math>u_n</math> est aussi petit que l’on veut à partir d’un certain rang. C'est-à-dire :<div style="text-align: center;"><math> \forall A \in \R\quad\exists N\in \N\quad\forall n\ge N\quad u_n < A </math>.</centerdiv>

<div style="text-align: center;">si <math>U<V</math> alors <math>\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad u_n<v_n</math>.</centerdiv>

<div style="text-align: center;">si <math>\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad u_n\ge v_n</math> alors <math>U\ge V</math>.</centerdiv>}}