« Arithmétique/PGCD » : différence entre les versions
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{{Propriété
| contenu =
Si l’on multiplie deux entiers naturels non nuls ''a'' et ''b'' par un même entier naturel non nul ''k'', leur PGCD est multiplié par ''k'', c'est-à-dire :<div style="text-align: center;">
<math>\operatorname{pgcd}(ka,kb)=k\times\operatorname{pgcd}(a,b)</math>.</
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
L'entier ''k'' divise ''ka'' et ''kb'' donc aussi leur PGCD. L'entier ''d'' > 0 défini par ''pgcd''(''ka'', ''kb'') = ''kd'' vérifie alors :
<div style="text-align: center;"><math>\forall n\in\Z\quad n\mid a,b\iff kn\mid ka,kb\iff kn\mid pgcd(ka,kb)\iff n\mid d</math></
donc
<div style="text-align: center;"><math>\operatorname{pgcd}(a,b)=d=\operatorname{pgcd}(ka,kb)/k</math>.</
}}
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