« Calcul différentiel/Exercices/Examen » : différence entre les versions
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{{Solution|contenu=
# <math>\gamma</math> est définie sur <math>\R</math> et <math>\forall t\in\R\quad x(-t)=-y(t)</math> et <math>y(-t)=-x(t)</math>. On en déduit que <math>\gamma(-t)=\sigma(\gamma(t))</math> où <math>\sigma</math> est la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation <math>y=-x</math>.
# <math>x'(t)=2t(t^3-1)+(t^2-1)3t^2=t(5t^3-3t-2)</math> et <math>y'(t)=t(5t^3-3t+2)</math>. Donc<div style="text-align: center;"><math>
\begin{align}\gamma'(t)=0&\Leftrightarrow \Big( t=0 \ \text{ ou }\ 5t^{3}-3t-2=5t^{3}-3t+2=0\Big)\\
&\Leftrightarrow t=0.\end{align}
</math></
# On a <math>\lim_{t\to\pm\infty}\Vert\gamma(t)\Vert=+\infty</math>. Pour <math>t</math> assez grand, <math>y(t)\ne0</math> et <math>\frac{x(t)}{y(t)}=\frac{t^3-1}{t^3+1}=\frac{1-t^{-3}}{1+t^{-3}}</math>.<br />Ainsi <math>\lim_{t\to\pm\infty}\frac{x(t)}{y(t)}=1</math>, et <math>\gamma</math> admet la direction <math>y=x</math> pour direction asymptotique en <math>\pm\infty</math>.<br />De plus <math>y(t)-x(t)=2(t^2-1)</math> donc <math>\lim_{t\to\pm\infty}y(t)-x(t)=+\infty</math>. La courbe a donc des branches paraboliques de direction <math>y=x</math> au voisinage de <math>+\infty</math> et <math>-\infty</math>.
# <math>\gamma(t)=0\Leftrightarrow t\in\{1,-1\}</math>. <math>\gamma'(1)=(0,4)</math> et <math>\gamma'(-1)=(-4,0)</math> donc <math>\gamma</math> passe deux fois par l'origine, une fois avec une tangente horizontale, une fois avec une tangente verticale.
Ligne 69 :
==Ex. III==
# Montrer qu'il existe des voisinages <math>U</math> et <math>V</math> de <math>(0,0)</math> dans <math>\R^2</math> tels que, pour tout <math>(u,v)\in V</math>, le système<div style="text-align: center;"><math>
\left\{
\begin{aligned}
Ligne 76 :
\end{aligned}
\right.
</math></
# Montrer que l'équation <math>\mathrm e^{xy}\sin(x-y)=\mathrm e^{-xy}\sin(x+y)</math> détermine localement <math>y</math> comme une fonction de <math>x</math> au voisinage de <math>0</math>, c'est à dire qu'il existe une fonction <math>\phi</math>, de classe <math>C^{\infty}</math>, définie sur un voisinage <math>I</math> de <math>0</math> et à valeurs dans un voisinage <math>J</math> de <math>0</math>, telle que<div style="text-align: center;"><math>
\forall(x,y)\in I\times J\quad\mathrm e^{xy}\sin(x-y)=\mathrm e^{-xy}\sin(x+y)\Leftrightarrow y=\phi(x)
</math>.</
{{Solution|contenu=
# Soit <math>F:\R^2\to\R^2</math> l'application définie par <math>F(x,y)=(\mathrm e^{xy}\sin (x - y),\mathrm e^{-xy} \sin (x + y))</math>.<br /><math>F</math> est <math>C^{\infty}</math> comme composée de fonctions <math>C^{\infty}</math>, <math>F(0,0)=(0,0)</math> et<div style="text-align: center;"><math>D_{x,y}F = \left(
\begin{smallmatrix}
\mathrm e^{ xy}(y\sin(x-y)+\cos(x-y)) &\mathrm e^{ xy}( x\sin(x-y)-\cos(x-y)) \\
\mathrm e^{-xy}(y\sin(x+y)+\cos(x+y)) &\mathrm e^{-xy}(-x\sin(x+y)+\cos(x+y))
\end{smallmatrix}
\right)</math>.</
\begin{smallmatrix}
1 &-1 \\
1 & 1
\end{smallmatrix}
\right)</math> est inversible, donc par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage <math>U</math> de <math>(0,0)</math> et un voisinage <math>V</math> de <math>(0,0)=F(0,0)</math> tels que <math>F</math> soit un difféomorphisme de <math>U</math> sur <math>V</math>. En particulier,<div style="text-align: center;"><math>\forall(u,v)\in V\quad\exists!(x,y)\in U\quad F(x,y)=(u,v)</math>.</
# Posons <math>f(x,y)=\mathrm e^{xy} \sin (x - y)-\mathrm e^{-xy} \sin (x + y)</math>. <math>f</math> est <math>C^{\infty}</math>, <math>f(0,0)=0</math> et d'après les calculs précédents, <math>\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = -2</math> est inversible. Par le théorème des fonctions implicites, on en déduit qu'il existe un voisinage <math>I</math> de <math>0</math>, un voisinage <math>J</math> de <math>0</math>, et une application <math>C^{\infty}</math> <math>\phi:I\to J</math>, tels que<div style="text-align: center;"><math>\forall (x,y)\in I\times J\quad f(x,y)=1\Leftrightarrow y=\phi(x)</math>.</
}}
==Ex. IV==
Étant données deux fonctions continues <math>a</math> et <math>b</math> de <math>\R</math> dans <math>\R</math>, on considère l'équation différentielle
<div style="text-align: center;"><math>y''+a(t)y'+b(t)y=0\quad(E)</math>.</
# On suppose dans cette question que <math>a</math> et <math>b</math> sont des constantes. Expliciter alors, en discutant suivant <math>a</math> et <math>b</math>, toutes les solutions réelles de <math>(E)</math>.
# Dans la suite, on ne suppose plus <math>a</math> et <math>b</math> constantes. En posant<div style="text-align: center;"><math>
Y=\left(
\begin{smallmatrix}
Ligne 106 :
\end{smallmatrix}
\right)
</math>,</
# Justifier que pour tout <math>t_0\in\R</math> et <math>(y_0,v_0)\in\R^2</math>, il existe une unique solution maximale <math>y</math> de <math>(E)</math> telle que <math>y(t_0)=y_0</math> et <math>y'(t_0)=v_0</math>. Que dire de son domaine de définition ?
# Soit <math>\phi</math> une solution de <math>(E)</math>. On suppose qu'il existe <math>t_0\in\R</math> tel que <math>\phi(t_0)=0</math> et <math>\phi'(t_0)=0</math>. Montrer que <math>\phi</math> est l'application nulle.<br />En déduire qu'une solution non constamment nulle n'a que des zéros isolés.
Ligne 113 :
{{Solution|contenu=
#
#*Si <math>a^2-4b>0</math> : en posant <math>\lambda_{\pm}=\frac{-a\pm\sqrt\Delta}2</math>, on a<div style="text-align: center;"><math>
S=\{t\mapsto A\mathrm e^{\lambda_+t}+B\mathrm e^{\lambda_-t}\}_{(A,B)\in\R^2}</math>.</
#*Si <math>a^2-4b<0</math> : en posant <math>\omega=\sqrt{-\Delta}</math>, on a<div style="text-align: center;"><math>
S=\{t\mapsto\mathrm e^{-at/2}(A\cos(\omega t))+B\sin(\omega t)\}_{(A,B)\in\R^2}</math>.</
#*Si <math>a^2-4b=0</math> : on a<div style="text-align: center;"><math>
S=\{t\mapsto\mathrm e^{-at/2}(A+Bt)\}_{(A,B)\in\R^2}</math>.</
#En posant <math>Y=\left(
\begin{smallmatrix}
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