« Fonctions circulaires/Dérivées des fonctions circulaires » : différence entre les versions

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* La fonction cosinus définie sur <math>\R</math> par <math>f(x) = \cos(x)</math> est dérivable sur <math>\R</math>, sa dérivée est :
 
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) = -\sin(x)</math></centerdiv>
}}
<br />​
Ligne 28 :
* La fonction sinus définie sur <math>\R</math> par <math>f(x) = \sin(x)</math> est dérivable sur <math>\R</math>, sa dérivée est :
 
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) = \cos(x)</math></centerdiv>
}}
 
Ligne 38 :
* La fonction tangente définie sur la réunion des intervalles de la forme [pi/2+2k pi; pi/2 +2k pi] (k appartenant à <math>\Z</math>) par <math>f(x) = \tan(x)</math> est dérivable sur ces même intervalles, sa dérivée est :
 
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) = \left (\frac{\sin(x)}{cos(x)} \right)' = \frac{\cos(x) \times \cos(x) - \sin(x) \times (-\sin(x))}{cos^2 (x)} = \frac{\cos^2 (x) + \sin^2 (x)}{cos^2 (x)}</math>
 
* <math>cos^2 (x) + sin^2 (x) = 1 \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{cos^2 (x)}</math>
* <math>\frac{cos^2 (x)}{cos^2 (x)} + \frac{sin^2 (x)}{cos^2 (x)} \Rightarrow f'(x) = 1 + \tan^2 (x)</math></centerdiv>
}}
 
'''Rappel''' : Soit une fonction ''g'' définie par ''g(x) = f( ax + b )'' où ''ƒ'' est une fonction dérivable, alors ''g'' est dérivable et sa dérivée est :
 
<div style="text-align: center;"><math>g'(x) = a f ' (ax+b)</math></centerdiv>
 
== Exercice : Dériver les fonctions suivantes définies sur R ==
Ligne 52 :
=== Exemple 1 ===
 
<div style="text-align: center;"><math>f(x) = \cos{(3x+2)}</math></centerdiv>
 
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) = \ldots </math></centerdiv>
{{Solution
| contenu =
Ligne 62 :
=== Exemple 2 ===
 
<div style="text-align: center;"><math>f(x) = \sin{(2x)}</math></centerdiv>
 
<div style="text-align: center;"><math>f ' (x) =\ldots</math></centerdiv>
{{Solution
| contenu =
Ligne 74 :
Dans un circuit, on a un courant sinusoïdal
 
<div style="text-align: center;"><math>i(t) = 2 \cos{(\omega t-\phi)}</math></centerdiv>
 
où ω est la '''pulsation''' et <math>\phi</math> la '''phase'''.
Ligne 80 :
Calculer sa dérivée par rapport au temps.
 
<div style="text-align: center;"><math>i '(t)=\ldots</math></centerdiv>
{{Solution
| contenu =
Ligne 88 :
=== Exemple 4 ===
 
<div style="text-align: center;"><math>f(x) = \sin{\left (\frac{x}{2}\right )}</math></centerdiv>
 
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) =\ldots</math></centerdiv>
{{Solution
| contenu =
Ligne 98 :
=== Exemple 5 ===
 
<div style="text-align: center;"><math>f(x) = \cos{(-3x-7)}</math></centerdiv>
 
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) =\ldots</math></centerdiv>
{{Solution
| contenu =