« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions
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Ligne 15 :
La fonction <math>F</math> est une '''primitive''' de <math>f</math> sur <math>I</math> si :
<div style="text-align: center;"><math>\forall x\in I\quad F'(x) = f(x)</math>.</
{{Exemple
Ligne 126 :
Soit <math>f</math> une fonction continue sur un intervalle <math>[a,b]</math> <math>(a,b\in\R)</math>.
* La fonction <math>x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> est '''l'unique primitive de <math>f</math> qui s'annule en <math>a</math>.'''
*Pour ''toute'' primitive <math>F</math> de <math>f</math> :<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)</math>.}}</
<u>Remarques :</u>
Ligne 161 :
On a alors :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm dx= \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm dx.</math>}}</
{{Démonstration déroulante|contenu =
Ligne 179 :
On a donc :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int xe^x\,\mathrm dx = xe^x -\int e^x\,\mathrm dx = (x-1)e^x + C \;(C\in \R).</math>}}</
2/ <u>'''Une double intégration par parties :'''</u>
Ligne 213 :
<math>2\int e^x \sin x\,\mathrm dx = -e^x\cos x + e^x \sin x + C ^;(C\in \R)</math>, d'où l’on tire :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int e^x \sin x\,\mathrm dx = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}2+ C \;(C\in \R)</math>}}</
3/ Calculer <math>\int \ln x\,\mathrm dx.</math>
Ligne 232 :
Donc (c'est un résultat à retenir) :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int \ln x\,\mathrm dx = x\ln x - x + C \;(C\in \R)</math>}}</
=== Changement de variables ===
Ligne 240 :
Alors :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,\mathrm dx = \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm dt</math>.}}</
{{Démonstration déroulante|contenu =
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