« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

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m màj+meftypo+rectif d'une bourde (variable d'intégration = même lettre que la borne)
m Formatage, ajout de div style="text-align: center;"
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On appelle '''intégrale généralisée de <math>f</math> entre <math>a</math> et <math>b</math> ''' la limite suivante :
<div style="text-align: center;">
{{Résultat
| <math>\int_a^b f(t)\mathrm{d}t = \lim_{x\to b} \int_a^x f(t)\mathrm{d}t</math>.
}}
</centerdiv>
 
L'intégrale est dite '''convergente''' si cette limite est finie et '''divergente''' dans le cas contraire.
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Soit <math>f</math> une fonction continue par morceaux sur <math>]a,b[</math> et <math>c\in ]a,b[</math>.
Alors (sous réserve d'existence) :
<div style="text-align: center;">
{{Résultat
| <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt= \int_a^c f(t)\,\mathrm dt+ \int_c^b f(t)\,\mathrm dt</math>.
}}
</centerdiv>
}}
 
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On [[Intégration (mathématiques)/Propriétés de l'intégrale|a montré]] que :
<div style="text-align: center;"><math>\forall f\in\mathcal{CM}([a,b[),\, 0 \le \left|\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\right| \le \int_a^x |f(t)|\,\mathrm dt</math>.</centerdiv>
Le théorème de comparaison permet de conclure.}}
 
Ligne 237 :
 
soit :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = 1</math>.}}</centerdiv>
 
{{Bas de page