« Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions » : différence entre les versions
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Ligne 30 :
Pour <math>n \in \N</math> et pour <math>k \in [ 0 ; n ]</math>, le polynôme de Bernstein (n,k) est défini par :
<div style="text-align: center;"><math>b_{n,k} (x) = \binom{n}{k}x^k (1-x)^{n-k}</math></
}}
Ligne 99 :
Il s'agit maintenant de majorer la deuxième partie de la somme. Pour cela, on remarque que :
<div style="text-align: center;"><math>\forall k \in \mathcal E_1 \ b_{n,k}(x) = \frac{(nx-k)^2 b_{n,k}(x)}{(nx-k)^2} \le \frac{(nx-k)^2 b_{n,k}(x)}{n^2 \delta^2}</math></
Ainsi,
<div style="text-align: center;"><math>\left| \sum_{k \in \mathcal E_2} \left[ f(x) - f \left( \frac kn \right) \right] b_{n,k} (x) \right| \le \sum_{k \in \mathcal E_2} \left[ \left| f(x) \right| + \left| f \left( \frac kn \right) \right| \right] \frac{(nx-k)^2 b_{n,k}(x)}{n^2 \delta^2} \le \frac{2 \| f \|_{\infty}}{n^2 \delta^2} n x (1-x)</math></
d'après la quatrième égalité calculée avant. La fonction<math>x \rightarrow x (1-x) </math> est majorée par 1/4 sur [0;1], d'où :
<div style="text-align: center;"><math>\left| \sum_{k \in \mathcal E_2} \left[ f(x) - f \left( \frac kn \right) \right] b_{n,k} (x) \right| \le \frac{\| f \|_{\infty}}{2 n \delta^2}</math></
On a donc prouvé que :
<div style="text-align: center;"><math>\left| f(x) - B_n (f) (x) \right| \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\| f \|_{\infty}}{2 n \delta^2}</math></
Pour tout ''x'' dans [0;1], il existe donc un entier ''N'' tel que :
<div style="text-align: center;"><math>n \ge N \Rightarrow \| f - B_n (f) \|_{\infty} \le \varepsilon</math></
CQFD
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