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Ligne 11 :
: <math>\frac{1}{2}ml^ 2 = \frac{mL^ 2}{3}</math>
Donc :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\frac{l}{L} = \sqrt{\frac{2}{3}}</math>}}</
<li> L'énergie cinétique est donnée par :
Ligne 20 :
donc
: <math>E_c = \frac{1}{2}ml^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + \frac{3}{4}ml^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2</math>
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>E_c = \frac{5}{4}ml^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2</math>}}</
L'énergie potentielle est donnée par :
: <math>E_p = -mgy_G</math>
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>E_p = -mgl\cos\theta</math>}}</
<li> La seule force à laquelle est soumise la barre est la force de pesanteur, conservative, donc il y a conservation de l'énergie mécanique.
Ligne 33 :
: <math>\frac{5}{2}l\frac{d^2\theta}{dt^2} + g\sin\theta = 0</math>
D'où l'équation différentielle :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{2}{5}\frac{g}{l}\sin\theta = 0</math>}}</
<li> Pour de petits mouvements, on effectue un développement au premier ordre de <math>\sin\theta</math>, <math>\sin\theta \sim \theta</math>, d'où l'équation différentielle :
Ligne 43 :
* <math>\left.\frac{d\theta}{dt}\right|_{t = 0} = 0</math>, donc <math>0 = -A\omega_1\sin(\varphi)</math>
donc <math>\varphi = 0</math> et <math>A = \theta_0</math> d'où la solution de l'équation différentielle :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_1 t)</math>}}</
A.N. : Avec <math>\omega_1 = \sqrt{\frac{2}{5}\frac{g}{l}}</math> on a {{Cadre simple|contenu=<math>\omega_1 \approx 1,34 {\rm rad\cdot s^{-1}}</math>}}
Ligne 62 :
: <math>dE_p = KXdX</math>
Puis par intégration en prenant la convention <math>E_p(x_O) = 0</math> :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>E_p = \frac{1}{2}KX^2</math>}}</
<li> L'énergie cinétique est donnée par :
Ligne 68 :
En l'absence de frottement (liaison supposée parfaite), les forces exercées sur la plateforme soit ne travaille pas (poids, réaction des guides), soit dérivent d'une énergie potentielle (force de rappel du ressort). Il y a donc conservation de l'énergie mécanique.
: <math>E_m = E_c + E_p</math>
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>E_m = \frac{1}{2}M\left(\frac{dX}{dt}\right)^2 + \frac{1}{2}KX^2</math>}}</
Puis par dérivation :
: <math>M\frac{dX}{dt}\frac{d^2X}{dt^2} + K\frac{dX}{dt}X = 0</math>
D'où l'équation différentielle pour la variable <math>X</math>
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\frac{d^2X}{dt^2} + \frac{K}{M}X = 0</math>}}</
<li> Avec <math>\omega_2 = \frac{K}{M}</math>, les solutions de cette équation différentielle sont :
Ligne 80 :
* <math>\left.\frac{dX}{dt}\right|_{t = 0} = 0</math>, donc <math>-A\omega_2\sin\varphi = 0</math>
On obtient <math>A = X_0</math> et <math>\varphi = 0</math>, d'où l’expression de <math>X</math> en fonction du temps :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>X(t) = X_0\cos(\omega_2 t)</math>}}</
</ol>
Ligne 92 :
<li> L'accélération de <math>O</math> est donnée par :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\overrightarrow{a_O}= \frac{d^2X}{dt^2}\overrightarrow{e_x}</math>}}</
Avec <math>\overrightarrow{OG} = l\overrightarrow{e_r}</math> on a :
: <math>\frac{d\overrightarrow{OG}}{dt} = l\frac{d\overrightarrow{e_r}}{dt} = l\frac{d\theta}{dt}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
puis
: <math>\frac{d^2\overrightarrow{OG}}{dt^2} = l\frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\overrightarrow{e_\theta}\right)</math>
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\frac{d^2\overrightarrow{OG}}{dt^2} = l\frac{d^2\theta}{dt^2}\overrightarrow{e_\theta} - l\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\overrightarrow{e_r}</math>}}</
Le référentiel lié à la plateforme étant en translation par rapport au référentiel du laboratoire, la loi de composition des mouvements donne :
: <math>\overrightarrow{\Gamma_G} = \frac{d^2\overrightarrow{O'O}}{dt^2} + \frac{d^2\overrightarrow{OG}}{dt^2}</math>
: <math>\overrightarrow{\Gamma_G} = \frac{d^2X}{dt^2}\overrightarrow{e_x} + l\frac{d^2\theta}{dt^2}\overrightarrow{e_\theta} - l\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\overrightarrow{e_r}</math>
Avec <math>\overrightarrow{e_r} = \sin\theta\overrightarrow{e_x} - \cos\theta\overrightarrow{e_y}</math> et <math>\overrightarrow{e_\theta} = \cos\theta\overrightarrow{e_x} + \sin\theta\overrightarrow{e_y}</math>, on obtient :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\overrightarrow{\Gamma_G} = \left(\frac{d^2X}{dt^2} - l\sin\theta\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + l\cos\theta\frac{d^2\theta}{dt^2}\right)\overrightarrow{e_x} + \left(l\sin\theta\frac{d^2\theta}{dt^2} + l\cos\theta\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\overrightarrow{e_y}</math>}}</
<li> En appliquant le théorème de la résultante cinétique à la tige, dans le référentiel du laboratoire, on a :
: <math>m\overrightarrow{\Gamma_G} = m\overrightarrow{g} + \overrightarrow{R} = -mg\overrightarrow{e_y} + T\overrightarrow{e_x} + N\overrightarrow{e_y}</math>
En projection sur les axes <math>(Ox)</math> et <math>(Oy)</math>, on obtient :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\left\{\begin{array}{l}
T = m\cfrac{d^2X}{dt^2} - ml\sin\theta\left(\cfrac{d\theta}{dt}\right)^2 + ml\cos\theta\cfrac{d^2\theta}{dt^2} \\
N = mg + ml\cos\theta\left(\cfrac{d\theta}{dt}\right)^2 + ml\sin\theta\cfrac{d^2\theta}{dt^2}
\end{array}\right.</math>}}</
<li> <math>\overrightarrow{\sigma_G} = \overrightarrow{\sigma}^*</math> est le moment cinétique barycentrique donc :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\overrightarrow{\sigma_G} = I_G\frac{d\theta}{dt}\overrightarrow{e_z}</math>}}</
<li> En dérivant l’expression précédente :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\frac{d\overrightarrow{\sigma_G}}{dt} = I_G\frac{d^2\theta}{dt^2}\overrightarrow{e_z}</math>}}</
D'après le théorème du moment cinétique barycentrique :
: <math>\frac{d\overrightarrow{\sigma_G}}{dt} = \overrightarrow{\mathcal{M}_G}\left(\overrightarrow{R}\right) + \overrightarrow{\mathcal{M}_G}\left(m\overrightarrow{g}\right)</math>
Ligne 123 :
* <math>\overrightarrow{\mathcal{M}_G}\left(m\overrightarrow{g}\right) = \overrightarrow{0}</math>
On obtient :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>I_G\frac{d^2\theta}{dt^2} = -lT\cos\theta - lN\sin\theta</math>}}</
<li> La relation précédente avec les expressions de <math>N</math> et <math>T</math> déterminées en 3.2 donne :
Ligne 129 :
: <math>(I_G + ml^2)\frac{d^2\theta}{dt^2} + mlg\sin\theta = -ml\cos\theta\frac{d^2X}{dt^2}</math>
Dans la partie 1, <math>l</math> est choisit tel que <math>I_G + ml^2 = I_O = \frac{3}{2}ml^2</math>, d'où l'équation différentielle :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\frac{3}{2}l\frac{d^2\theta}{dt^2} + g\sin\theta = -\cos\theta\frac{d^2X}{dt^2}</math>}}</
<li> Dans l'hypothèse des petits mouvements <math>\cos\theta \sim 1</math> et <math>\sin\theta \sim \theta</math> d'où :
: <math>\frac{3}{2}l\frac{d^2\theta}{dt^2} + g\theta = -\frac{d^2X}{dt^2}</math>
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \omega_1^2\theta = -\alpha\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{X}{l}\right)</math> avec <math>\omega_1 = \sqrt{\frac{2}{3}\frac{g}{l}}</math> et <math>\alpha = \frac{2}{3}</math>}}</
Application numérique : Avec la valeur de <math>l</math> de la partie 1, on a <math>\omega_1 = \sqrt{3} {\rm rad\cdot s^{-1}}</math>.
Ligne 147 :
: <math>M\frac{d^2X}{dt^2} = -KX - m\frac{d^2X}{dt^2} + ml\sin\theta\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 - ml\cos\theta\frac{d^2\theta}{dt^2}</math>
En constatant que <math>\frac{d}{dt}\left(\cos\theta\frac{d\theta}{dt}\right) = -\sin\theta\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + \cos\theta\frac{d^2\theta}{dt^2}</math>, on obtient :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>(m+M)\frac{d^2X}{dt^2} + KX = -ml\frac{d}{dt}\left(\cos\theta\frac{d\theta}{dt}\right)</math>}}</
<li> Dans l'hypothèse des petits mouvements <math>\cos\theta \sim 1</math> et
: <math>(m+M)\frac{d^2X}{dt^2} + KX = -ml\frac{d^2\theta}{dt^2}</math>
On obtient l'équation différentielle :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{X}{l}\right) + \omega_2^2\frac{X}{l} = -\beta\frac{d^2\theta}{dt^2}</math> avec <math>\omega_2 = \sqrt{\frac{K}{m+M}}</math> et <math>\beta = \frac{m}{m+M}</math>}}</
<li> <math>\omega_2^2 = \frac{K}{m+M}</math>, on obtient
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\omega_2^2 = 4 {\rm rad\cdot s^{-2}}</math>}}</
<math>\alpha</math> et <math>\beta</math> sont des coefficients sans dimension et <math>\alpha\beta = \frac{2}{3}\frac{m}{m+M}</math> donc
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\alpha\beta = \frac{1}{2}</math>}}</
<li> On cherche des solutions du système
Ligne 179 :
: <math>\frac{1}{2}\Omega^4 - 7\Omega^2 + 12 = 0</math>
dont les solutions sont
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\Omega = \sqrt{2} {\rm rad\cdot s^{-1}}</math> et <math>\Omega = 3\sqrt{2} {\rm rad\cdot s^{-1}}</math>}}</
<li> Le système des équations I et II étant linéaire, les expressions de <math>\theta</math> et <math>\frac{X}{l}</math> proposées sont bien solutions, et ces solutions vérifient :
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