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Ligne 21 :
Le solénoïde étant supposé très long (infini), on obtient le champ magnétique en un point de l'axe par intégration :
: <math>\mathbf{B} = \left(\int_{\pi}^0 -\frac{\mu_0}{2}\frac{N_1}{L}\sin\alpha d\alpha\right)\mathbf{e}_z = \frac{\mu_0}{2}\frac{N_1i}{L}\left[\cos\alpha\right]_{\pi}^0\mathbf{e}_z</math>
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\mathbf{B} = \mu_0\frac{N_1}{L}i\mathbf{e}_z</math>}}</
Ce champ est constant sur l'axe. <br />
La distribution de courant étant invariante par rotation d'axe <math>(Oz)</math> et par translation d'axe <math>(Oz)</math> en coordonnées cylindriques, le champ magnétique ne dépend que de <math>r</math>. <br />
Ligne 36 :
* si <math>r > r_1</math> : <math>i_{\rm int} = \frac{N_1}{L}ih</math>
On obtient donc le champ magnétique :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\left\{\begin{array}{lcl} \mathbf{B}_1 = \mu_0\cfrac{N_1}{L}i\mathbf{e}_z & \text{si} & r < r_1 \\ \mathbf{B}_1 = \mathbf{0} & \text{si} & r > r_1 \end{array}\right.</math>}}</
<li> Le coefficient d'inductance <math>L_1</math> se calcule en ajoutant le flux magnétique traversant chacune des sprires du solénoïde <math>\Sigma_1</math> :
: <math>\phi_1 = \mu_0\frac{N_1}{L}iN_1\pi r_1^2</math>
On a alors le coefficient d'inductance
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>L_1 = \mu_0\frac{N_1^2}{L}\pi r_1^2</math>}}</
De même
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>L_2 = \mu_0\frac{N_2^2}{L}\pi r_2^2</math>}}</
Application numérique :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>L_2 = </math>}}</
<li> Soit <math>\phi_{1\to 2}</math> le flux de <math>\mathbf{B}_1</math> au travers du solénoïde <math>\Sigma_2</math>.
Le coefficient de mutuelle inductance <math>M</math> est défini par :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>M = \frac{\phi_{1\to 2}}{i}</math>}}</
: <math>\phi_{1\to 2} = \iint_{\text{spires de }\Sigma_2} \mathbf{B}_1\cdot d\mathbf{S} = \mu_0\frac{N_1}{L}iN_2\pi r_2^2</math>
donc
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>M = \mu_0\frac{n_1N_2}{L}\pi r_2^2</math>}}</
</ol>
Ligne 70 :
: <math>\underline{i_2} = -\frac{j\omega M\underline{i_0}}{R_2 + j\omega L_2} = -\frac{j\omega \cfrac{M}{R_2}\underline{i_0}}{1 + j\omega\cfrac{L_2}{R_2}}</math>
On obtient le résultat :
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\underline{i_2} = \frac{Kj\cfrac{\omega}{\omega_c}\underline{i_0}}{1 + j\cfrac{\omega}{\omega_c}}</math> avec <math>\omega_c = \frac{R_2}{L_2}</math> et <math>K = -\frac{M}{L_2}</math>}}</
Or <math>M = \mu_0\frac{N_1N_2}{L}\pi r_2^2</math> et <math>L_2 = \mu_0\frac{N_2^2}{L}\pi r_2^2</math> donc
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>K = -\frac{N_1}{N_2}</math>}}</
<li> Le champ <math>\mathbf{B}_2</math> à l'intérieur de solénoïde <math>\Sigma_2</math> s'obtient par superposition des champs créés par <math>\Sigma_1</math> et <math>\Sigma_2</math>, soit d’après la question 1.a :
Ligne 80 :
En tenant compte de <math>N_2K = -N_1</math> on obtient l'amplitude complexe <math>\underline{B_2}</math> du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde <math>\Sigma_2</math> :
: <math>\underline{B_2} = \mu_0\frac{N_1}{L}\left(1 - \frac{j\cfrac{\omega}{\omega_c}}{1 + j\cfrac{\omega}{\omega_c}}\right)I_0</math>
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=<math>\underline{B_2} = \mu_0\frac{N_1}{L}I_0\frac{1}{1 + j\cfrac{\omega}{\omega_c}}</math>}}</
D'où la norme <math>B_2</math> de ce champ magnétique :
: <math>B_2 = \frac{\mu_0N_1I_0}{L\sqrt{1 + \cfrac{\omega^2}{\omega_c^2}}}</math>
laquelle tend vers 0 lorsque ω tend vers l'infini. <br />
<div style="text-align: center;">{{Cadre simple|contenu=A haute fréquence le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde <math>\Sigma_2</math> tend vers 0.}}</
</ol>
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