« Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 2 » : différence entre les versions

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== Exercice 10-2 ==
'''1°''' &nbsp;<math>\theta_n</math> désigne un angle compris entre <math>0</math> et <math>\frac\pi2</math> tel que l'on ait :
::<math>\tan\theta_n=\frac1{1+n+n^2}=\frac{n+1-n}{1+n(n+1)}</math>.
:'''a)''' &nbsp;Calculer la somme :
::<math>S_n=\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n</math>.
:'''b)''' &nbsp;<math>S_n</math> a-t-elle une limite si <math>n</math> tend vers <math>+\infty</math> ?
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}}
'''2°''' &nbsp;Mêmes questions si :
::<math>\tan\theta_n=\frac2{n^2}=\frac{n+1-(n-1)}{1+(n-1)(n+1)}</math>.
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}}
'''3°''' &nbsp;(Variante de la question 1). Donner une expression simple de <math>\sum_{k=0}^n\arctan\frac1{k^2+k+1}</math> pour tout <math>n\in\N</math>.
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Montrons par récurrence que cette somme <math>S_n</math> est égale à <math>\arctan(n+1)</math>.
 
Par définition, on a bien <math>S_0=\arctan1</math>.
<math>\theta_n</math> désigne un angle compris entre 0 et <math>\frac\pi2</math> tel que l'on ait :
 
<math>\tan\theta_n=\frac1{1+n+n^2}=\frac{n+1-n}{1+n(n+1)}</math>
 
Calculer la somme :
 
<math>S_n=\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n</math>
 
<math>S_n</math> a-t-elle une limite si <math>n</math> tend vers <math>+\infty</math> ?
 
 
Mêmes questions si :
 
<math>\tan\theta_n=\frac2{n^2}=\frac{n+1-(n-1)}{1+(n-1)(n+1)}</math>
 
{{solution}}
 
Il suffit donc de montrer que pour tout <math>n\in\N^*</math>, <math>\arctan n+\arctan\frac1{n^2+n+1}=\arctan(n+1)</math>.
*Première méthode. Cela résulte des trois points suivants :
**les trois angles <math>a:=\arctan n</math>, <math>b:=\arctan\frac1{n^2+n+1}</math> et <math>c:=\arctan(n+1)</math> appartiennent à <math>\left]0,\frac{\pi}2\right[</math> ;
**<math>\tan a\tan b<1</math> (donc, compte tenu du point précédent : <math>a+b\in\left]0,\frac{\pi}2\right[</math>) ;
**<math>\tan(a+b)=\tan c</math> (d'après la [[Trigonométrie/Relations trigonométriques#Formulaire 1 : addition|formule sur la tangente d'une somme]]).
*Seconde méthode. Les deux fonctions <math>x\mapsto\arctan\frac1{x^2+x+1}</math> et <math>x\mapsto\arctan(x+1)-\arctan x</math> sont égales car elles coïncident en <math>0</math> et ont même dérivée.
}}
 
== Exercice 10-3 ==