« Axiomes de Peano » : différence entre les versions

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== Introduction ==
Un nombre entier naturel est un nombre positif (supérieur ou égal à 0) qui peut s’écrire sans virgule dans le système de numération habituel, par exemple 1, 12 ou 6553.
 
== Les Axiomes de Peano ==
 
Leur ensemble est l’ensemble <math>\N</math> et est défini par les axiomes de Peano :
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# Tout sous-ensemble de <math>\N</math> contenant 0 et tous les successeurs de ses propres éléments est égal à <math>\N</math> tout entier (axiome de récurrence).
 
== Quelques conséquences ==
* À partir de ces axiomes, on peut [[:b:Algèbre/Démontrer_le_théorème_de_récurrence|démontrer le théorème de récurrence]].
* On peut définir 1 comme le successeur de 0.
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*On peut définir l'ordre usuel par : <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a\le b\Leftrightarrow\exists c\in\N\quad b=a+c.</math>. On montre alors que <math>0</math> est le plus petit entier naturel.
 
== Conclusion ==
Ces axiomes permettent de ''démontrer'', et non plus d'''admettre'', toutes les propriétés des deux opérations de base.
Ainsi il est très facile, voire amusant, de démontrer par des récurrences les propriétés suivantes :