« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions

La notion d''''espace métrique''' est historiquement la première structure topologique, bien que formellement, la notion d'[[../Espace topologique|espace topologique]], plus vaste mais plus abstraite, soit traitée prioritairement dans cet exposé de topologie. La définition d’un espace métrique est proche de l'intuition, puisque les propriétés topologiques de ces espaces ne sont pas directement définis à partir d’un ensemble d'ouverts, appelé topologique, mais à partir d’une application nommée distance, ou métrique, qui permet de donner un rôle plus important à l'intuition géométrique.

 

{{Définition|contenu=

{{Wikipédia|Distance (mathématiques)|Distance}}

}}

 

{{Définition|contenu={{Wikipédia|Boule (topologie)|Boule}}

Soit <math>(E,d)</math> un espace métrique, soient <math>c\in E</math> et <math>r\in\R_+^*</math>. On appelle :

}}

 

D'après le corollaire 2, les boules ouvertes de <math>(E,d)</math> constituent une [[Topologie générale/Bases#Base d'ouverts|base d'une (unique) topologie]] sur <math>E</math>.

{{Définition

}}

 

{{Définition|contenu={{Wikipédia|Continuité uniforme}}

Soient <math>(E,d)</math> et <math>(F,d')</math> deux espaces métriques. Une application <math>f:E\to F</math> est dite uniformément continue si :