« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

Dans cette partie, on définit la notion de topologie sur un ensemble et d'espace topologique. On donne par ailleurs quelques exemples fondamentaux.

 

 

De la même manière qu'en [[Département:Algèbre|algèbre]] générale, les notions de [[Théorie des groupes|groupes]], d'[[Anneau (mathématiques)|anneaux]] et de [[Corps (mathématiques)|corps]] généralisent ce que nous savons de l'addition des réels à des structures plus abstraites, voire exotiques, la structure d'espace topologique permet de généraliser celle d'espace euclidien à des objets mathématiques de nature totalement différente (espace de nombres, espaces fonctionnels…) L'intuition géométrique joue un grand rôle en topologie, bien qu’il faille toujours se méfier des dessins (dont la pertinence est limitée quand il s'agit de représenter des espaces de dimension infinie).

On définit donc la structure de base de la topologie : l'espace topologique, défini comme la donnée d’un ensemble <math>X</math>, et d’une topologie sur <math>X</math>, c'est-à-dire un ensemble de sous-ensembles de <math>X</math> vérifiant certaines propriétés, dont les éléments sont appelés ouverts. Intuitivement, un ouvert correspond à un ensemble qui ne contient pas sa « frontière ».

 

{{ Définition

| titre = Définition : Espace topologique

}}

 

 

{{Exemple