« Trigonométrie/Les formules de trigonométrie » : différence entre les versions

Notre priorité sera avant tout de montrer les deux formules concernant <math>\scriptstyle \cos (a+b)</math> et <math>\scriptstyle \sin (a+b)</math>. Toutes les autres en découleront immédiatement.

 

=== Les formules d'addition ===

[[Fichier:Trigo somme 2 angles.svg|275px|thumb|Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.]]

</math>

 

En posant <math>a = b</math>, et en n'oubliant pas que <math>\cos^2 a + \sin^2 a = 1</math>, les formules de duplication viennent clairement.

 

:<math>\displaystyle \cos p + \cos q = 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right).</math>

 

=== Construction ===

[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|Figure]]

On remarque que :

<math>\widehat{oxh_{2}} = \widehat{h_{3}xr_{2}} \rightarrow \widehat{xr_{2}h_{3}} = a</math>.

Dans <math>h_{1}or_{1}</math>, <math>oh_{1}=r\times\cos a</math><br />

Dans <math>h_{2}or_{2}</math>, <math>oh_{2}=r\times\cos(a+b)</math><br />

On remarque que <math>ox = oh_{3} - xh_{3} \Rightarrow ox = r \times (\cos b - \frac{sin a \times sin b}{\cos a})</math>

 

[[File:Cosinus(a+b).png|thumb]]

D'après le [[Triangles et parallèles/Théorème de Thalès|théorème de Thalès]] dans le triangle <math>h_1or_1</math> :

<math>\begin{align}\frac{r\times\cos a}{r\times\cos(a+b)}=\frac r{ox}&\Rightarrow\cos(a+b)=\frac{\cos a\times ox}r\\&\Rightarrow\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{align}</math>

 

[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|Figure]]

Dans <math>h_{2}ox </math>, <math> \sin a = \frac{xh_{2}}{ox} \Rightarrow xh_{2} = ox \times \sin a </math><br/>