« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la [[géométrie euclidienne]], la [[géométrie riemannienne]], et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.
 
== Rappels d'algèbre linéaire ==
 
{{Définition
}}
 
== Espace vectoriel symplectique ==
 
{{Définition
C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n’est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.
 
=== Classification ===
Rappelons le résultat suivant :
 
:''En dimension 2n, il n'existe à isomorphisme près qu'un unique espace vectoriel symplectique.''
 
=== Exemples ===
 
{{Exemple|titre=Exemple 2
}}
 
== Structure complexe ==
 
En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur ''V'' muni d'une structure complexe.
}}
 
=== Sous-espaces d'un espace symplectique ===
 
{{Définition
}}
 
=== Réduction symplectique ===
Si ''W'' est un sous-espace coisotropique de ''V'', alors ω induit une forme symplectique sur l'espace quotient <math>W/W^{o}</math>.
 
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