« Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions
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== Dérivée de la fonction exponentielle ==
{{Propriété|titre=Rappel
| contenu=La dérivée de la fonction <math>\exp:\R\to\R,\ x\mapsto\mathrm e^x</math> est elle-même :
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Cette propriété est inhérente à la définition de <math>\exp</math> comme solution d'une équation différentielle (chap. 1). Nous avons admis (chap. 2) que cette définition de <math>\exp</math> est équivalente à celle à partir du logarithme.
== Variations de la fonction exponentielle ==
=== Positivité de l'exponentielle ===
{{Théorème|contenu=
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}}
=== Variations de la fonction exponentielle ===
{{Corollaire|contenu=La fonction exponentielle est strictement croissante sur <math>\R</math>.}}
En effet, <math>\exp'=\exp>0</math>.
== Limites aux bornes ==
Les deux propositions ci-dessous seront généralisées et démontrées au chapitre suivant.
=== Limite en + ∞ ===
{{Proposition|contenu=
<div style="text-align: center;"><math>\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^x=+\infty</math>.</div>
}}
=== Limite en -∞ ===
{{Proposition|contenu=
<div style="text-align: center;"><math>\lim_{x\to-\infty}\mathrm e^x=0</math>.</div>
}}
== Courbe représentative ==
[[Fichier:Exp e.svg|thumb|center|upright=2]]
=== Tangente remarquable ===
{{Propriété|contenu=
Au point <math>(a,\mathrm e^a)</math>, [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente#|la tangente a pour équation]] <math>y=\mathrm e^a(1+x-a)</math>. En particulier au point <math>(0,1)</math>, la tangente a pour équation <math>y=1+x</math>.
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