« Analyse vectorielle/Analyse vectorielle complexe » : différence entre les versions

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Dans certains cas, on est amené à considérer des champs sous la forme de solutions harmoniques, qui sont commodes en notation complexe. En effet, toute fonction « suffisamment régulière » peut être décomposée en somme de telles solutions, d’après le théorème de Fourier. Les outils d'analyse vectorielle s'adaptent à cette description.

Pour l'exemple, nous traiterons ici le cas très général du champ électrique <math>\overrightarrow E</math>.

 

 

Nous allons introduire les notations que nous utiliserons dans ce chapitre, à des fins simplificatrices. On suppose que le champ électrique est de la forme :

Par ailleurs, la dérivation temporelle se fait en multipliant le vecteur par la quantité <math>i\omega</math>.

 

 

On admet ici que le vecteur formel nabla prend dans l'espace de Fourier la forme suivante :

* Laplacien : <math>\Delta = - k^2 \!</math>

 

 

 

Commençons par un exemple simple. Supposons que le champ se propage selon la seule direction ''x'' dans le vide, alors d’après l'équation de Maxwell-Gauss :

C'est-à-dire qu’à tout instant, le champ électrique est orthogonal à sa direction de propagation (cela est évident du point de vue des invariances, mais il est toujours bon de le vérifier).

 

 

Intéressons-nous plutôt à l'équation de propagation du champ électrique. En effet, on sait que, dans le vide :