« Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques » : différence entre les versions

}}

 

{{Définition

| contenu = Soit ''a, b'' deux nombres réels ou complexes. Soit ''n > 0'' un entier naturel. On appelle '''suite arithmético-géométrique''' toute suite définie par une relation de la forme :

De telles suites peuvent être entièrement résolues, et c’est l’objet de ce premier chapitre.

 

 

Avant de nous lancer dans la résolution générale, regardons quelques cas particuliers :

L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.

 

 

<math>u_1 = au_0 + b</math>

Est-ce bon dans le cas général ?

 

 

Réécrivons la formule précédente sous une forme plus générique :

<math>\begin{align} u_{n+1} & = a^{n+1}u_0 + \sum_{i=0}^{n} a^ib \\ \ & = a \times a^nu_0 + b + \sum_{i=1}^{n} a^ib \\ \ & = a \left[ a^nu_0 + \sum_{i=1}^{n} a^{i-1}b \right] + b \\ \ & = a \left[ a^nu_0 + \sum_{i=0}^{n-1} a^ib \right] + b \\ \ & = a u_n + b \end{align}</math>

 

 

Nous venons de montrer que les suites arithmético-géométriques admettent toujours une (et unique) solution :

 

L'étude de la convergence de ces suites, relativement facile à partir des expressions ci-dessus, est proposée en exercice.

[[w:Suite arithmético-géométrique|Suite arithmético-géométrique]] sur Wikipédia

{{Bas de page