« Matrice/Inverse » : différence entre les versions

{{Wikipédia|Matrice inversible}}

 

Après avoir vu qu’il était possible de multiplier des matrices entre elles, on peut naturellement se demander s'il est possible de « diviser » par des matrices. Une telle chose n'a pas de sens rigoureux mathématiquement, et amène à la notion d'inverse, développée dans ce chapitre.

 

Soit une équation simple impliquant des nombres réels :

<math>a \cdot x = b</math>

:<math>\mathbf A \cdot \mathbf X = \mathbf B</math>.

 

{{Définition

| titre = Inverse d'une matrice

}}

 

 

{{Propriété|titre=Propriétés de l'inverse d'une matrice

{{Attention|Attention ! Cette dernière règle est souvent négligée et source d'erreurs !}}

 

{{Propriété|Structure de l’ensemble des matrices inversibles

| contenu ={{Wikipédia|Groupe linéaire}}

Lorsque l’on travaille dans des ensembles moins familiers (comme l'[[Anneau (mathématiques)/Exercices/Étude de l'anneau Z8|anneau <math>\Z/8\Z</math>]], dans lequel les éléments non nuls ne sont pas tous inversibles), il ne suffit pas que <math>\det A</math> soit non nul pour que <math>A</math> soit inversible.

 

{{Wikipédia|Comatrice}}

La formule de [[w:Pierre-Simon de Laplace|Laplace]] fournit, lorsque <math>\det A</math> est inversible, une expression de la matrice inverse, à partir de la ''transposée'' de la comatrice de <math>A</math> :

 

Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.

 

On sait que le déterminant des matrices 2 × 2 de la forme <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> est <math>ad - bc</math>.

}}

 

Le moyen le plus simple est d’utiliser la méthode dite du pivot de Gauss.

 

{{Attention|Avec_fond = oui|Ici les notations '''A*''' et '''Id*''' ne veulent absolument rien dire ; elles sont juste ici pour se souvenir que les matrices qui leur sont associées sont issues respectivement de A et Id.}}}}

 

 

 

Dire qu'une matrice '''A''' est inversible équivaut à chacune des propositions suivantes :

 

 

 

[[Fichier:L12a.ogv|left|800px|Inversion par la méthode du pivot]]

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