« Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe » : différence entre les versions

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Avant de définir le logarithme complexe, définissons l'exponentielle complexe.

 

Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans <math>\C</math> comme un logarithme dans <math>\R</math>

 

 

Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à <math>\C</math> :

<math>\sin(z)=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2i}=\frac{\sinh(iz)}{i}</math>

 

 

<math>\forall\; z,w\in \C</math> <br />

# <math>\ |\exp(z)|=\exp(\mathfrak{Re}(z))</math><br />

 

Pour des raisons purement géométriques, l'argument d'un nombre complexe n'est jamais défini que modulo <math>2\pi</math> et on ne peut définir de façon naturelle de fonction argument à valeurs réelles.

 

On appelle cette fonction '''détermination principale de l'argument'''.

 

{{Définition

| titre = Définition du logarithme complexe

#<math>Ln(1+z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} z^n</math> si <math>|z|\le1</math> et <math>z\ne-1</math>.

}}

 

On note <math>z=x+yi</math>, pour <math>z \in \C</math>, on a :

Ce qui donne : <math>\mathrm D_z(Ln(z))=\frac{\mathrm D_x(Ln(z))}{\mathrm D_x(z)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{\bar z}{\bar z z}=\frac{1}{z}</math>.

 

 

{{Définition