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== Équations différentielles linéaires du premier ordre ==
:<math>a\left(x \right) f'\left(x\right) + b\left( x \right) f\left(x\right) = c\left(x\right)</math>.
(Pour les définitions, revoir le [[../Définition|chapitre 1]].)
==== Exemple ====
''Préciser les valeurs de <math>a(x)</math>, <math>b(x)</math> et <math>c(x)</math> dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée.''
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== Espaces vectoriels ==
La linéarité d'une équation différentielle a des conséquences importantes facilitant la recherche de solutions.
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== La condition initiale ==
* L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,
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== Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants ==
:<math>af'\left(x\right) + bf\left(x\right) = c\left(x\right)</math>
(Pour les définitions, revoir le [[../Définition|chapitre 1]].)
==== Solutions de l'équation homogène ====
{{Théorème
| contenu=
Ligne 77 :
}}
==== Solutions de l'équation complète ====
{{Théorème
Ligne 84 :
}}
==== Exemples ====
'''Remarque :''' Dans les exemples, la fonction <math>f</math> est souvent nommée <math>y</math>, en omettant la variable <math>x</math>.
Ligne 94 :
* <math>5y' -2y =3</math>{{clr}}
==== Exemples avec condition initiale ====
''Résoudre les équations suivantes.''
Ligne 103 :
* <math>5y' -2y =3</math> ; <math>y(-2)=3</math>
==== Exemple en physique : Vitesse terminale ====
Considérons un objet de masse ''m'' en chute libre.
Ligne 183 :
* <math>g=9,81</math>
=== Remarques ===
Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si ''a'' et ''b'' sont réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque <math>t \to \infty</math>. Si ''a'' et ''b'' sont réels de signe opposé, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers <math>\pm\infty</math>.
== Cas général : équations à coefficients variables ==
On suppose que les fonctions <math>a,b,c</math> sont continues.
==== Équation homogène associée ====
{{Théorème
| titre=Solutions de l'équation homogène|contenu=
Ligne 199 :
C'est un cas particulier du théorème suivant.
==== Équation complète ====
{{Théorème
Ligne 218 :
d'où le résultat annoncé pour <math>f=g\mathrm e^{-\Phi}</math>.}}
=== Remarques ===
* On retrouve le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
* La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également difficile à utiliser. En effet, il n’est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.
==== Exemples ====
''Résoudre sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> les équations suivantes :''
* <math>xy' -4y=0</math> ;
Ligne 230 :
* <math>5x^2y' -2y =3x</math>.
==== Exemple en physique ====
Considérons le cas d'un mobile de masse variable supposée connue et unité à l'origine
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