« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions

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{{Définition

| titre = Définition : assertion

Le but est de montrer que certaines assertions, des plus simples aux plus ardues, sont vraies ou fausses. Pour élaborer de nouvelles assertions à partir d'un petit jeu de base, qu'on appelle '''axiomes''', on utilise [quasiment exclusivement non ?] les connecteurs logiques et les quantificateurs.

 

 

Ici <math>P</math> et <math>Q</math> désignent des assertions. On en construit de nouvelles grâce aux connecteurs logiques suivants. On présente le résultat de la nouvelle assertion, en fonction des valeurs de vérité de <math>P</math> et <math>Q</math> dans une table de vérité :

 

On note non ''P'' ou ¬''P'', la négation de <math>P</math> :

 

</div>

 

L'assertion « ''P'' et ''Q'' » (aussi notée « ''P'' ∧ ''Q'' ») est vraie si et seulement si ''P'' et ''Q'' sont toutes deux vraies :

 

On appelle cette assertion la '''conjonction''' de ''P'' et de ''Q''.

 

 

On appelle '''disjonction''' de ''P'' et ''Q'' l'assertion « ''P'' ou ''Q'' » (aussi notée « ''P'' ∨ ''Q'' ». Elle est vraie si et seulement si au moins l'une des deux assertions ''P'' et ''Q'' est vraie. Il s'agit d'un « ou » ''inclusif'' :

</div>

 

On appelle '''implication''' de ''Q'' par ''P'' l'assertion « <math>P \Rightarrow Q</math> » qui n'est autre que « non ''P'' ou ''Q'' » :

 

* Si « <math>P \Rightarrow Q</math> » est vraie, on dit que ''P'' est une '''condition suffisante''' de ''Q'' et que ''Q'' est une '''condition nécessaire''' de ''P''.

 

On appelle '''équivalence''' de ''P'' et ''Q'' l'assertion, notée « <math>P \Leftrightarrow Q</math> » — qui n'est autre que « (<math>P \Rightarrow Q) \, \text{et} \, (Q \Rightarrow P)</math> ».

 

</div>

 

 

Ici ''P'', ''Q'' et ''R'' désignent des assertions quelconques. Les résultats suivants sont valables :