« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions

{{Clr}}

 

Soient <math>u\in\operatorname L(E,F)</math> et <math>v\in\operatorname L(F,G)</math>.

 

}}

 

Soient <math>u,v,w\in\operatorname L(E)</math> tels que <math>u\circ v=w</math>, <math>v\circ w=u</math> et <math>w\circ u=v</math>.

 

}}

 

Soient <math>u,v\in\operatorname L(E)</math>.

#Vérifier que <math>\ker v\subset\ker u\circ v</math> et <math>\operatorname{im}v\supset\operatorname{im}v\circ u</math>.

}}

 

Soit <math>\varphi\in\operatorname L(E)</math>. En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :

#la suite des noyaux des itérés de <math>\varphi</math> est croissante et celle des images est décroissante : <math>\forall n\in\N\quad\ker\left(\varphi^n\right)\subset\ker\left(\varphi^{n+1}\right)\quad\text{et}\quad\operatorname{im}\left(\varphi^n\right)\supset\operatorname{im}\left(\varphi^{n+1}\right)</math> ;