« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions

}}

 

Le calcul de primitive est l'opération inverse du calcul de dérivée.

{{Définition

}}

 

Soient <math>a,b,C</math> des constantes et <math>k</math> un entier relatif.

 

|}

 

Voici maintenant le lien entre l'intégration et les primitives :

 

Par abus de langage, cette notation désigne aussi une primitive quelconque de <math>f</math> : '''il faut toutefois bien garder à l'esprit qu’il existe une infinité de primitives définies à une constante additive près'''.

 

La principale méthode utilisée pour calculer des intégrales est d’abord l'usage du théorème fondamental de l'analyse.

 

Notez '''qu'on n'utilise''' (presque) '''jamais la définition théorique de l'intégrale''' pour calculer une intégrale.

 

{{Théorème

| titre = Formule : intégration par parties|contenu ={{Wikipédia|Intégration par parties}}

<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int \ln x\,\mathrm dx = x\ln x - x + C \;(C\in \R)</math>}}</div>

 

{{Théorème

| titre = Formule de [[Changement de variable en calcul intégral|changement de variables]]|contenu =

On a posé <math>u = \frac t{\sqrt 2}</math> et donc <math>\mathrm dt = \sqrt 2 \,\mathrm du</math>.

 

Pour intégrer une fraction rationnelle (si la solution ne peut être trouvée directement avec les méthodes ci-dessus), il faut la [[Fractions rationnelles|décomposer en éléments simples]] . L'intégration devient ensuite relativement aisée sauf lorsqu'on rencontre des éléments simples de deuxième espèce de la forme :

 

<math>\int \frac{\mathrm dt}{(t^2+k^2)^n} = k^{1-2n}\int \cos ^{2n-2}u \;\mathrm du</math>, qu'on calcule [[Calcul avec les nombres complexes/Factorisation et linéarisation|par linéarisation avec les formules d'Euler]].

 

{{Propriété|titre = Règles de Bioche|contenu =

Si l'élément différentiel <math>f(x)\,\mathrm dx</math> est inchangé lors de la transformation :