« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions
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Ligne 12 :
:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan x \,\mathrm dx</math>.
== Définitions et premières propriétés ==
=== Définition ===
On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul "problème" est sur la borne <math>b</math> (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :
Ligne 47 :
Alors : <math>\lim_{x\to 0} \int_x^1 \ln t \,\mathrm dt = \lim_{x\to 0} \left((1\ln 1 -1) - (x\ln x - x)\right) =\lim_{x\to 0} x - x\ln x - 1 = -1 </math> donc l'intégrale converge.
=== Premières propriétés ===
Lorsqu’il y a un problème sur les deux bornes, on utilise la relation de Chasles sur les intégrales généralisées '''convergentes''' :
Ligne 80 :
}}
=== Exemple de Riemann ===
Le premier exemple de référence '''à connaître''' est :
Ligne 112 :
}}
== Convergence absolue et théorème de comparaison ==
=== Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées ===
On considère dans tout ce paragraphe des fonctions '''à valeurs positives'''.
Ligne 191 :
Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue.
=== Convergence absolue ===
{{Définition
Ligne 219 :
On a montré au paragraphe précédent que <math>\int_1^{+\infty}\mathrm e^{-x} \;\mathrm dx</math> converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.
== Intégration par parties et changement de variables ==
On peut utiliser une intégration par parties ou un changement de variables comme pour des intégrales "habituelles" (voyez [[Intégration (mathématiques)/Intégrale et primitives]]) ''' à la condition expresse de n'utiliser que des intégrales convergentes'''.
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